La idea en 2 minutos

¿Qué es una derivada?

Sin miedo: aquí no hablamos en matemático. La derivada es una idea que ya usas todos los días; solo le vamos a poner nombre.

La derivada mide cuánto cambia algo por cada paso

Todo lo que cambia se puede medir de dos formas: cuánto hay y qué tan rápido está cambiando. La derivada es lo segundo.

Si una cosa depende de otra (la distancia del tiempo, el costo de la cantidad producida, la altura del camino de cuánto avanzas), la derivada responde una sola pregunta: ¿cuánto cambia por cada unidad más?

1. El velocímetro

Vas en auto. El odómetro dice cuántos kilómetros llevas; el velocímetro dice qué tan rápido está cambiando eso: $80$ kilómetros por cada hora.

La velocidad es la derivada de la distancia. Si aprietas el acelerador, la distancia crece más rápido: la derivada sube. Si frenas, la derivada baja. Si te detienes, la derivada es cero: la distancia no cambia.

Eso es todo: la derivada es el velocímetro de cualquier cosa que cambie.

2. La cuesta

y=f(x)

En un dibujo, la derivada es la pendiente: cuánto sube la curva por cada paso que avanzas. En el punto marcado, la recta roja sube $2$ por cada $1$ que avanza: ahí la derivada vale $2$ . Más a la izquierda la cuesta es suave (derivada chica); más a la derecha, empinada (derivada grande).

3. Una unidad más

Una pyme fabrica mochilas. Hacer $100$ cuesta cierto dinero: $C(100)$ . ¿Y cuánto cuesta hacer una más, la número $101$ ?

Eso es el costo marginal, y es la derivada del costo: $C'(100)$ . Si $C'(100)=1{.}800$ , la mochila $101$ cuesta unos $1.800 más que las $100$ anteriores.

En negocios, casi todo lo que se llama «marginal» es una derivada: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal. Siempre significa lo mismo: cuánto cambia por la siguiente unidad.

Cómo se lee

f'(x)

«efe prima de equis»: cuánto cambia $f$ por cada unidad que aumenta $x$ .

$f'(3)=2$: en $x=3$ , $f$ sube $2$ por cada unidad más
$f'(3)=-2$: en $x=3$ , $f$ baja $2$ por cada unidad más
$f'(3)=0$: en $x=3$ , $f$ está plana: una cima, un valle o un descanso

El signo dice hacia dónde; el tamaño, qué tan rápido

Derivada positiva: la cosa está subiendo. Negativa: está bajando. Cero: por ahora está plana.

Un número grande (como $120$ ) es un cambio rápido; uno chico (como $0{,}5$ ) es un cambio lento. Y siempre va con unidades: pesos por unidad, kilómetros por hora, grados por minuto.

Lo que vas a hacer en la prueba es tres cosas: calcular ese número con reglas (sección 1), usarlo para rectas tangentes (sección 2) y para encontrar máximos y mínimos (sección 3). Todo el curso es aprender a calcular la derivada y a usarla.

¿Quedó claro?

1El velocímetro marca 0 km/h. ¿Qué pasa con la distancia recorrida?

2 $T(t)$ es la temperatura del café a los $t$ minutos. $T'(10)=-3$ significa que…

3Si $C'(50)=400$ pesos por unidad, la unidad $51$ cuesta aproximadamente…

Entendí: a la primera lección →