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Ejercicio 5 de 16 · Fácil

La velocidad media de producción

FácilLa velocidad media de producción
Una máquina lleva producidas
P(x)=20x+x2P(x)=20x+x^2
unidades después de xx horas de turno. En el turno completo, de 00 a 66 horas, su velocidad media de producción es P(6)−P(0)6−0\frac{P(6)-P(0)}{6-0} unidades por hora. Según el teorema del valor medio, en algún instante c∈(0, 6)c\in(0,\,6) la velocidad instantánea P′(c)P'(c) es exactamente esa media. Encuéntralo.

Hazlo en tu cuaderno y escribe el resultado.

La receta de esta lección›

La receta

Teorema del valor medio y Rolle

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Te dan ff y un intervalo [a,b][a,b] y piden «el cc que garantiza el teorema»: verifica las hipótesis y encuentra cc. Si f(a)=f(b)f(a)=f(b), es Rolle y la pendiente es 00.

  1. 1Verifica las hipótesisff continua en [a,b][a,b] y derivable en (a,b)(a,b). Polinomios, exe^x, sen⁡x\sen x y cos⁡x\cos x siempre cumplen; con raíces, logaritmos, fracciones o ∣x∣|x| hay que mirar dónde viven.
  2. 2Calcula la pendiente de la secantem=f(b)−f(a)b−am=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}: final menos inicio, arriba y abajo. Si f(a)=f(b)f(a)=f(b), es Rolle: m=0m=0.
  3. 3Iguala f'(c) a esa pendienteDeriva ff, cambia xx por cc y plantea la ecuación f′(c)=mf'(c)=m.
  4. 4Resuelve y filtraQuédate solo con los cc que están dentro de (a,b)(a,b): los extremos y lo que queda afuera no sirven. Puede haber más de uno.