Teorema del valor medio y Rolle

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Te dan $f$ y un intervalo $[a,b]$ y piden «el $c$ que garantiza el teorema»: verifica las hipótesis y encuentra $c$ . Si $f(a)=f(b)$ , es Rolle y la pendiente es $0$ .

1Verifica las hipótesis $f$ continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ . Polinomios, $e^x$ , $\sen x$ y $\cos x$ siempre cumplen; con raíces, logaritmos, fracciones o $|x|$ hay que mirar dónde viven.
2Calcula la pendiente de la secante $m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ : final menos inicio, arriba y abajo. Si $f(a)=f(b)$ , es Rolle: $m=0$ .
3Iguala f'(c) a esa pendienteDeriva $f$ , cambia $x$ por $c$ y plantea la ecuación $f'(c)=m$ .
4Resuelve y filtraQuédate solo con los $c$ que están dentro de $(a,b)$ : los extremos y lo que queda afuera no sirven. Puede haber más de uno.

Mírala en acción

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

Teorema del valor medio

suena serio... pero la idea es simple

Ejercicio: hipótesis y el $c$ para

\displaystyle f(x)=x^2-3x\quad\text{en }[1,\,4]

1) las hipótesis 2) encontrar $c$

\displaystyle (1,\,-2)

\displaystyle (4,\,4)

\displaystyle c

en algún punto $c$ la tangente es paralela a la secante

\displaystyle \htmlClass{c-a}{m_{\text{tangente}}}\htmlClass{c-b}{=m_{\text{secante}}}

\displaystyle \htmlClass{c-izq}{f'(c)}\htmlClass{c-der}{=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}

cambio en $y$ sobre cambio en $x$

Paso 1: Hipótesis

\displaystyle f(x)=x^2-3x\ \text{ es un polinomio}

continua en $[1,4]$ derivable en $(1,4)$

polinomio: siempre cumple

Paso 2: Pendiente de la secante

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f(1)=1^2-3\cdot 1}\htmlClass{c-b}{=1-3}\htmlClass{c-c}{=-2}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f(4)=4^2-3\cdot 4}\htmlClass{c-b}{=16-12}\htmlClass{c-c}{=4}

final menos inicio, arriba y abajo

\displaystyle \htmlClass{c-a}{m=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}}\htmlClass{c-b}{=\frac{4-(-2)}{3}}\htmlClass{c-c}{=\frac{6}{3}}\htmlClass{c-d}{=\htmlClass{c-dos}{2}}

Paso 3: Igualar f'(c) a la pendiente

\displaystyle f'(x)=2x-3

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(c)=2c-3}\htmlClass{c-b}{=\htmlClass{c-dos}{2}}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{2c=2+3}\htmlClass{c-b}{=5}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{c=\frac{5}{2}}\htmlClass{c-b}{=2{,}5}

Paso 4: Comprobar

\displaystyle 1<\htmlClass{c-val}{2{,}5}<4

está dentro del intervalo

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(2{,}5)=2\cdot 2{,}5-3}\htmlClass{c-b}{=5-3}\htmlClass{c-c}{=\htmlClass{c-dos}{2}}

pendiente 2: ¡paralelas!

\displaystyle c=\frac{5}{2}

si $f(a)=f(b)$ : la secante es horizontal, pendiente 0: es Rolle

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos

0:00 / 4:11

Así queda en tu hoja

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Hipótesis. Como $f$ es un polinomio, es continua en $[1,4]$ y derivable en $(1,4)$ : se puede aplicar el teorema del valor medio. Luego existe $c\in(1,4)$ tal que

\displaystyle f'(c)=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}

Pendiente de la secante. Evaluamos $f$ en los extremos:

\displaystyle f(1)=1^2-3(1)=-2

\displaystyle f(4)=4^2-3(4)=4

\displaystyle m=\frac{4-(-2)}{4-1}=\frac{6}{3}=2

Igualamos. Derivamos $f$ y planteamos $f'(c)=2$ :

\displaystyle f'(x)=2x-3

\displaystyle 2c-3=2

\displaystyle c=\frac{5}{2}

Como $\frac{5}{2}\in(1,4)$ , es el valor que garantiza el teorema:

\displaystyle \boxed{c=\frac{5}{2}}

En $x=\frac{5}{2}$ la recta tangente es paralela a la secante que une $(1,\,-2)$ con $(4,\,4)$ : ambas tienen pendiente $2$ .