Exponenciales y logaritmos

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Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

Exponenciales y logaritmos

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Aparecen $e^{u}$ , $a^{u}$ , $\ln u$ o $\log_a u$ .

1Si hay logaritmos, simplifica primero $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ , $\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$ , $\ln a^n=n\ln a$ . Derivar después es mucho más fácil.
2Usa la tabla $(e^u)'=e^u\,u'$ , $(a^u)'=a^u\ln a\,u'$ , $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$ .
3Multiplica por la derivada de adentroEl exponente o lo de adentro del $\ln$ es $u$ : siempre va $u'$ .
4FactorizaSaca $e^x$ (o lo que se repita) de factor común.

2

Mírala en acción

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

Exponenciales y logaritmos

$e^x$ , $\ln x$ · con calma, paso a paso

Ejercicio: deriva

\displaystyle f(x)=\htmlClass{c-t1}{e^{\htmlClass{c-in1}{3x}}}+\htmlClass{c-t2}{\ln(x^2+1)}

cada uno por separado

Paso 1: La tabla

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(e^x)'}\htmlClass{c-b}{=\htmlClass{c-e}{e^x}}

¡se copia! pendiente = altura

\displaystyle (\ln x)'=\frac{1}{x}

¡de memoria! son la base

Paso 2: Con la cadena

no es $e^x$ , es $e^{3x}$

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(e^{u})'=e^{u}}\htmlClass{c-b}{\,\cdot\,u'}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(\ln u)'=\frac{1}{u}}\htmlClass{c-b}{\cdot u'}\htmlClass{c-c}{=\frac{\htmlClass{c-arriba}{u'}}{\htmlClass{c-abajo}{u}}}

Paso 3: Primer término

\displaystyle \htmlClass{c-a}{u=3x}\;\htmlClass{c-b}{\Rightarrow\;u'=\htmlClass{c-du}{3}}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\big(e^{3x}\big)'=e^{3x}}\htmlClass{c-por}{\cdot\htmlClass{c-tres}{3}}\htmlClass{c-b}{=3e^{3x}}

$3x$ : 3 veces más rápido · ¡no lo olvides!

Paso 4: Segundo término

\displaystyle \htmlClass{c-a}{u=x^2\htmlClass{c-uno}{+1}}\;\htmlClass{c-b}{\Rightarrow\;u'=\htmlClass{c-du}{2x}}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\big(\ln(x^2+1)\big)'=}\htmlClass{c-b}{\frac{\htmlClass{c-arriba}{2x}}{\htmlClass{c-abajo}{x^2+1}}}

Paso 5: Juntamos

\displaystyle f'(x)=3e^{3x}+\frac{2x}{x^2+1}

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos

0:00 / 3:03

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Así queda en tu hoja

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Derivamos término a término. Para $e^{3x}$ usamos la regla de la cadena $(e^{u})'=e^{u}\,u'$ con $u=3x$ , y para $\ln(x^2+1)$ usamos $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$ con $u=x^2+1$ :

\displaystyle f'(x)=\left(e^{3x}\right)'+\left(\ln(x^2+1)\right)'

\displaystyle =e^{3x}\cdot 3+\frac{2x}{x^2+1}

Por lo tanto,

\displaystyle f'(x)=\boxed{3e^{3x}+\frac{2x}{x^2+1}}