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Lección 27 de 32 · Máximos, mínimos y optimización

Análisis completo y gráfico

Del dominio al bosquejo.

La clave · Todo junto

x2+3x−1\displaystyle \frac{x^2+3}{x-1}
1

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

Análisis completo y gráfico

5 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Piden el estudio completo de una función y su bosquejo.

  1. 1Dominio y cortesDónde existe ff; cortes con el eje xx (f=0f=0) y con el eje yy (f(0)f(0)).
  2. 2AsíntotasLímites laterales donde se anula el denominador; límites en ±∞\pm\infty (horizontal u oblicua).
  3. 3Primera derivadaCríticos, tabla de signos, crecimiento y extremos.
  4. 4Segunda derivadaConcavidad e inflexión.
  5. 5BosquejoJunta todo: asíntotas, cortes, extremos y la forma de la curva.
2

Mírala en acción

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

Análisis completo y gráfico

Ejercicio: estudia y bosqueja

f(x)=x2+3x−1\displaystyle f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}

cada paso = una pieza

asıˊntotas: guıˊasf′ ⁣: ↗ ↘f′′ ⁣: ∪ ∩\displaystyle \htmlClass{c-a}{\text{asíntotas: guías}}\qquad\htmlClass{c-b}{f'\!:\ \nearrow\,\searrow}\qquad\htmlClass{c-c}{f''\!:\ \cup\,\cap}

Paso 1: Dominio y cortes

x−1≠0 ⇒ x≠1\displaystyle \htmlClass{c-a}{x-1\neq 0}\htmlClass{c-b}{\ \Rightarrow\ x\neq 1}
Df=R∖{1}\displaystyle D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}
f(0)=02+30−1=−3 ⇒ (0, −3)\displaystyle \htmlClass{c-a}{f(0)=\frac{0^2+3}{0-1}=-3}\htmlClass{c-p}{\ \Rightarrow\ (0,\,-3)}
x2+3>0 ⇒ no corta el eje x\displaystyle x^2+3>0\ \Rightarrow\ \text{no corta el eje }x

Paso 2: Asíntotas

x→1: x2+3x−1→4casi 0\displaystyle \htmlClass{c-a}{x\to1:}\ \htmlClass{c-b}{\frac{x^2+3}{x-1}\to\frac{4}{\text{casi }0}}
lim⁡x→1−x2+3x−1=40−=−∞\displaystyle \lim_{x\to1^-}\frac{x^2+3}{x-1}=\htmlClass{c-r}{\frac{4}{0^-}=-\infty}
lim⁡x→1+x2+3x−1=40+=+∞\displaystyle \lim_{x\to1^+}\frac{x^2+3}{x-1}=\htmlClass{c-r}{\frac{4}{0^+}=+\infty}
x=1: asıˊntota vertical\displaystyle x=1:\ \text{asíntota vertical}

cerca de 11: se dispara

x2+3x1−1: 2=1+1 ⇒ oblicua\displaystyle \htmlClass{c-a}{\frac{x^{\htmlClass{c-g2}{2}}+3}{x^{\htmlClass{c-g1}{1}}-1}}\htmlClass{c-b}{:\ 2=1+1}\htmlClass{c-c}{\ \Rightarrow\ \text{oblicua}}
m=lim⁡x→±∞f(x)x=1\displaystyle m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=1
n=lim⁡x→±∞(f(x)−x)=1\displaystyle n=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-x\big)=1
y=x+1: asıˊntota oblicua\displaystyle y=x+1:\ \text{asíntota oblicua}
f(x)−(x+1)=4x−1→0\displaystyle f(x)-(x+1)=\frac{4}{x-1}\to 0

Paso 3: Primera derivada

f′(x)=2x(x−1)−(x2+3)(x−1)2\displaystyle f'(x)=\frac{2x(x-1)\htmlClass{c-menos}{-}(x^2+3)}{(x-1)^2}
=x2−2x−3(x−1)2\displaystyle =\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}
=(x−3)(x+1)(x−1)2\displaystyle =\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}
f′(x)=0 ⇒ x=−1, x=3\displaystyle f'(x)=0\ \Rightarrow\ x=-1,\ x=3
x(−∞,−1)(−1,1)(1,3)(3,∞)f′+−−+f↗↘↘↗\displaystyle \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty,-1) & (-1,1) & (1,3) & (3,\infty)\\ \hline f' & + & - & - & +\\ f & \htmlClass{c-u1}{\nearrow} & \htmlClass{c-d1}{\searrow} & \htmlClass{c-d2}{\searrow} & \htmlClass{c-u2}{\nearrow} \end{array}
maˊx. relativo: f(−1)=−2\displaystyle \text{máx. relativo: }f(-1)=-2
mıˊn. relativo: f(3)=6\displaystyle \text{mín. relativo: }f(3)=6

Paso 4: Segunda derivada

f′′(x)=8(x−1)3\displaystyle f''(x)=\frac{8}{(x-1)^3}
x(−∞,1)(1,∞)f′′−+f∩∪\displaystyle \begin{array}{c|cc} x & (-\infty,1) & (1,\infty)\\ \hline f'' & \htmlClass{c-s1}{-} & \htmlClass{c-s2}{+}\\ f & \htmlClass{c-c1}{\cap} & \htmlClass{c-c2}{\cup} \end{array}
1∉Df ⇒ sin inflexioˊn\displaystyle 1\notin D_f\ \Rightarrow\ \htmlClass{c-no}{\text{sin inflexión}}

Paso 5: Bosquejo

xy(−1, −2)\displaystyle (-1,\,-2)(0, −3)\displaystyle (0,\,-3)(3, 6)\displaystyle (3,\,6)

mín 66 > máx −2-2: ramas distintas

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos
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3

Así queda en tu hoja

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Dominio. El denominador se anula en x=1x=1, luego Df=R∖{1}D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}.

Cortes con los ejes. Con el eje yy:

f(0)=02+30−1=−3\displaystyle f(0)=\frac{0^2+3}{0-1}=-3

Con el eje xx: f(x)=0f(x)=0 exige x2+3=0x^2+3=0, que no tiene solución real, pues x2+3≥3>0x^2+3\geq 3>0. La curva corta al eje yy en (0, −3)(0,\,-3) y no corta al eje xx.

Asíntota vertical. Los límites laterales en x=1x=1 son infinitos, así que x=1x=1 es asíntota vertical:

lim⁡x→1−x2+3x−1=40−=−∞,lim⁡x→1+x2+3x−1=40+=+∞\displaystyle \lim_{x\to 1^-}\frac{x^2+3}{x-1}=\frac{4}{0^-}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 1^+}\frac{x^2+3}{x-1}=\frac{4}{0^+}=+\infty

Comportamiento en ±∞\pm\infty. El grado del numerador es mayor que el del denominador, así que no hay asíntota horizontal:

lim⁡x→+∞x2+3x−1=+∞,lim⁡x→−∞x2+3x−1=−∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+3}{x-1}=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+3}{x-1}=-\infty

Como el grado del numerador supera en uno al del denominador, buscamos una asíntota oblicua y=mx+ny=mx+n:

m=lim⁡x→±∞f(x)x=lim⁡x→±∞x2+3x2−x=1\displaystyle m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2+3}{x^2-x}=1
f(x)−x=x2+3−x(x−1)x−1=x+3x−1\displaystyle f(x)-x=\frac{x^2+3-x(x-1)}{x-1}=\frac{x+3}{x-1}
n=lim⁡x→±∞(f(x)−x)=lim⁡x→±∞x+3x−1=1\displaystyle n=\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+3}{x-1}=1

Luego, y=x+1y=x+1 es asíntota oblicua.

Primera derivada. Aplicamos la regla del cociente y factorizamos:

f′(x)=2x(x−1)−(x2+3)⋅1(x−1)2\displaystyle f'(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+3)\cdot 1}{(x-1)^2}
=x2−2x−3(x−1)2\displaystyle =\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}
=(x−3)(x+1)(x−1)2\displaystyle =\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}

Los puntos críticos son x=−1x=-1 y x=3x=3; en x=1x=1 la derivada no existe, pero 1∉Df1\notin D_f. Como (x−1)2>0(x-1)^2>0, el signo de f′f' es el del numerador:

x(−∞,−1)−1(−1,1)1(1,3)3(3,+∞)f′(x)+0−N.E.−0+f↗↘N.E.↘↗\displaystyle \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,3) & 3 & (3,+\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \text{N.E.} & - & 0 & + \\ f & \nearrow & & \searrow & \text{N.E.} & \searrow & & \nearrow \end{array}

Luego, ff es creciente en (−∞,−1)∪(3,+∞)(-\infty,-1)\cup(3,+\infty) y decreciente en (−1,1)∪(1,3)(-1,1)\cup(1,3). Por el criterio de la primera derivada, en x=−1x=-1 hay un máximo relativo (f′f' pasa de ++ a −-) y en x=3x=3 un mínimo relativo (f′f' pasa de −- a ++):

f(−1)=(−1)2+3−1−1=−2\displaystyle f(-1)=\frac{(-1)^2+3}{-1-1}=-2
f(3)=32+33−1=6\displaystyle f(3)=\frac{3^2+3}{3-1}=6

Segunda derivada. Derivamos f′f' con la regla del cociente y simplificamos el factor (x−1)(x-1):

f′′(x)=(2x−2)(x−1)2−(x2−2x−3)⋅2(x−1)(x−1)4\displaystyle f''(x)=\frac{(2x-2)(x-1)^2-(x^2-2x-3)\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}
=(2x−2)(x−1)−2(x2−2x−3)(x−1)3\displaystyle =\frac{(2x-2)(x-1)-2(x^2-2x-3)}{(x-1)^3}
=8(x−1)3\displaystyle =\frac{8}{(x-1)^3}

Como f′′(−1)=−1<0f''(-1)=-1<0 y f′′(3)=1>0f''(3)=1>0, se confirman el máximo y el mínimo. El signo de f′′f'' es el de (x−1)3(x-1)^3:

x(−∞,1)1(1,+∞)f′′(x)−N.E.+f∩N.E.∪\displaystyle \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,1) & 1 & (1,+\infty)\\ \hline f''(x) & - & \text{N.E.} & + \\ f & \cap & \text{N.E.} & \cup \end{array}

Luego, ff es cóncava hacia abajo en (−∞,1)(-\infty,1) y cóncava hacia arriba en (1,+∞)(1,+\infty). La concavidad cambia en x=1x=1, pero 1∉Df1\notin D_f: no hay puntos de inflexión.

Bosquejo. Se trazan las asíntotas x=1x=1 e y=x+1y=x+1. Para x<1x<1 la curva es cóncava hacia abajo: sube junto a la oblicua hasta el máximo (−1, −2)(-1,\,-2), pasa por (0, −3)(0,\,-3) y baja a −∞-\infty. Para x>1x>1 es cóncava hacia arriba: baja desde +∞+\infty hasta el mínimo (3, 6)(3,\,6) y luego sube acercándose a la oblicua.

maˊx. rel. (−1, −2), mıˊn. rel. (3, 6), asıˊntotas x=1 e y=x+1, sin inflexioˊn\displaystyle \boxed{\text{máx. rel. }(-1,\,-2),\ \text{mín. rel. }(3,\,6),\ \text{asíntotas }x=1\text{ e }y=x+1,\ \text{sin inflexión}}