Aproximación lineal y diferenciales

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Te piden estimar un valor «feo» cerca de uno fácil ( $\sqrt{4{,}1}$ , $e^{0{,}1}$ , $(1{,}02)^5$ ), o el cambio aproximado $dy$ de una función.

1Elige el a cómodoUn valor cerca de $x$ donde $f(a)$ y $f'(a)$ salgan exactos: $4$ para $\sqrt{4{,}1}$ , $0$ para $e^{0{,}1}$ .
2Calcula f(a) y f'(a)Deriva, y evalúa las dos en $a$ : el valor y la pendiente de la tangente.
3Arma la tangente $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ : valor más pendiente por el paso.
4Reemplaza x $f(x)\approx L(x)$ . Si piden el diferencial: $dy=f'(a)\,dx$ , con $dx=x-a$ .

Mírala en acción

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

Aproximación lineal

sin calculadora siempre la misma idea

Ejercicio: estima $\sqrt{4{,}1}$ sin calculadora, con

\displaystyle f(x)=\sqrt{x}\quad\text{en } a=4

no es cuadrado perfecto

\displaystyle (4,\,2)

muy cerca, casi iguales

4,1 está pegado al 4

la recta en vez de la curva: ¡más fácil!

\displaystyle f(x)\approx\htmlClass{c-fa}{f(a)}+\htmlClass{c-pend}{f'(a)}\,\htmlClass{c-paso}{(x-a)}

valor + pendiente · paso

\displaystyle L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)

Paso 1: Elegir el a cómodo

\displaystyle \htmlClass{c-x}{x=4{,}1}\qquad\htmlClass{c-a}{a=4}

cómodo: raíz exacta

Paso 2: Calcular f(a) y f'(a)

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f(4)=\sqrt{4}}\htmlClass{c-b}{=\htmlClass{c-dos}{2}}

pendiente = $f'(a)$

\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}}\htmlClass{c-b}{=\frac{1}{2\cdot 2}}\htmlClass{c-c}{=\htmlClass{c-cuarto}{\frac{1}{4}}}

Paso 3: Armar la tangente

\displaystyle \htmlClass{c-v}{L(x)=2}\htmlClass{c-p}{+\frac{1}{4}}\htmlClass{c-s}{(x-4)}

la recta roja del dibujo, como función

Paso 4: Reemplazar x

¡en la recta, no en la raíz!

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\sqrt{4{,}1}\approx L(4{,}1)}\htmlClass{c-b}{=2+\frac{1}{4}\,(\htmlClass{c-paso}{4{,}1-4})}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{=2+\frac{1}{4}\,(0{,}1)}\htmlClass{c-b}{=2+0{,}025}

\displaystyle \sqrt{4{,}1}\approx\htmlClass{c-res}{2{,}025}

¡sin calculadora, solo con una recta!

¿qué tan buena es?

\displaystyle \sqrt{4{,}1}=2{,}0248\ldots

error < 0,0002 ¡muy cerca!

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos

0:00 / 4:06

Así queda en tu hoja

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Queremos estimar $\sqrt{4{,}1}$ sin calculadora. Usamos la aproximación lineal de $f(x)=\sqrt{x}$ en $a=4$ , un valor cercano a $4{,}1$ cuya raíz es exacta:

\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)

Calculamos $f(4)$ y $f'(4)$ :

\displaystyle f(4)=\sqrt{4}=2

\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

\displaystyle f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}

La linealización de $f$ en $a=4$ (su recta tangente) es:

\displaystyle L(x)=2+\frac{1}{4}(x-4)

Evaluamos en $x=4{,}1$ :

\displaystyle \sqrt{4{,}1}\approx L(4{,}1)=2+\frac{1}{4}(4{,}1-4)=2+\frac{1}{4}(0{,}1)=2{,}025

Por lo tanto,

\displaystyle \boxed{\sqrt{4{,}1}\approx 2{,}025}

(Con calculadora, $\sqrt{4{,}1}=2{,}02485\ldots$ : la estimación se equivoca en menos de $0{,}0002$ .)