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🔁 Repaso

Lección 13 de 32 · Calcular derivadas

Por definición

Sin reglas: con el límite.

La clave · Límite con h

lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
1

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

Por definición

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:El enunciado dice «usando la definición» o «por definición».

  1. 1Escribe la definiciónf′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
  2. 2Calcula f(x+h) y réstale f(x)Reemplaza xx por x+hx+h con paréntesis y desarrolla. Todo lo que no tiene hh se cancela.
  3. 3Factoriza h y cancélalaSi hay raíces, multiplica por el conjugado; si hay fracciones, saca común denominador.
  4. 4Ahora sí, h = 0Cuando ya no se divide por hh, reemplazas h=0h=0. Escribe «lim⁡\lim» en cada línea hasta ese momento.
2

Mírala en acción

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

Derivada por definición

sin reglas, solo con un límite

siempre los mismos pasos

Ejercicio: usando la definición, deriva

f(x)=3x2−x\displaystyle f(x)=3x^2-x

Paso 1: La definición

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{\htmlClass{c-num}{f(\htmlClass{c-xh}{x+h})-f(x)}}{\htmlClass{c-den}{h}}

xx se mueve hh arriba: cuánto cambia ff partido por hh: rapidez

h=0: f(x)−f(x)0=00\displaystyle \htmlClass{c-a}{h=0:}\ \htmlClass{c-b}{\dfrac{f(x)-f(x)}{0}}\htmlClass{c-c}{=\htmlClass{c-oo}{\dfrac{0}{0}}}

primero, simplificar

Paso 2: Calcular f(x+h)

f(x+h)=3(x+h)2−(x+h)\displaystyle f(x+h)=3\htmlClass{c-p1}{(x+h)^2}-\htmlClass{c-p2}{(x+h)}

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

=3(x2+2xh+h2)−x−h\displaystyle \htmlClass{c-a}{=\htmlClass{c-tres}{3}(x^2+2xh+h^2)}\htmlClass{c-b}{-x-h}
=3x2+6xh+3h2−x−h\displaystyle =3x^2+6xh+3h^2-x-h

Paso 3: Restar f(x)

f(x+h)−f(x)\displaystyle f(x+h)-f(x)
=3x2+6xh+3h2−x−h−(3x2−x)\displaystyle \htmlClass{c-a}{=3x^2+6xh+3h^2-x-h}\htmlClass{c-par}{\htmlClass{c-menos}{-}(\htmlClass{c-t1}{3x^2}-\htmlClass{c-t2}{x})}
=3x2+6xh+3h2−x−h−3x2+x\displaystyle \htmlClass{c-a}{=\htmlClass{c-c1}{3x^2}+6xh+3h^2\htmlClass{c-c2}{-x}-h}\htmlClass{c-c3}{-3x^2}\htmlClass{c-c4}{+x}
=6xh+3h2−h\displaystyle =6xh+3h^2-h
3x2−x=f(x)\displaystyle \htmlClass{c-a}{3x^2-x}\htmlClass{c-b}{=f(x)}

Paso 4: Dividir y cancelar h

f′(x)=lim⁡h→06xh+3h2−hh\displaystyle f'(x)=\htmlClass{c-lim}{\lim_{h\to 0}}\dfrac{6x\htmlClass{c-h1}{h}+3\htmlClass{c-h2}{h}^2-\htmlClass{c-h3}{h}}{h}
=lim⁡h→0h (6x+3h−1)h\displaystyle =\htmlClass{c-lim}{\lim_{h\to 0}}\dfrac{\htmlClass{c-h1}{h}\,(6x+3h-1)}{\htmlClass{c-h2}{h}}

h→0h\to 0, pero h≠0h\neq 0

=lim⁡h→0 (6x+3h−1)\displaystyle =\htmlClass{c-lim}{\lim_{h\to 0}}\,(6x+\htmlClass{c-th}{3h}-1)

¡si no, te descuentan!

Paso 5: Ahora sí, h = 0

antes daba 00\frac{0}{0}

f′(x)=6x+3⋅0−1=6x−1\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(x)=6x+3\cdot\htmlClass{c-cero}{0}-1}\htmlClass{c-b}{=6x-1}
(3x2−x)′=6x−1\displaystyle (3x^2-x)'=6x-1

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos
0:00 / 3:51
3

Así queda en tu hoja

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Por definición,

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Calculamos f(x+h)f(x+h), desarrollando el cuadrado de binomio:

f(x+h)=3(x+h)2−(x+h)\displaystyle f(x+h)=3(x+h)^2-(x+h)
=3x2+6xh+3h2−x−h\displaystyle =3x^2+6xh+3h^2-x-h

Restamos f(x)f(x); los términos sin hh se cancelan:

f(x+h)−f(x)=3x2+6xh+3h2−x−h−(3x2−x)\displaystyle f(x+h)-f(x)=3x^2+6xh+3h^2-x-h-(3x^2-x)
=6xh+3h2−h\displaystyle =6xh+3h^2-h

Reemplazamos en la definición, factorizamos hh y simplificamos, pues h≠0h\neq 0:

f′(x)=lim⁡h→06xh+3h2−hh\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{6xh+3h^2-h}{h}
=lim⁡h→0h(6x+3h−1)h\displaystyle =\lim_{h\to 0}\frac{h(6x+3h-1)}{h}
=lim⁡h→0(6x+3h−1)\displaystyle =\lim_{h\to 0}(6x+3h-1)

Evaluando el límite,

f′(x)=6x−1\displaystyle f'(x)=\boxed{6x-1}