Crecimiento y puntos críticos

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

5 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Piden puntos críticos o los intervalos donde la función crece y decrece.

1DominioAnota qué valores no pueden usarse (denominador cero, raíz de negativo, ln de no positivo).
2Deriva y factoriza f'Factorizada, ves de inmediato dónde se anula y su signo.
3Puntos críticosDonde $f'=0$ o $f'$ no existe, y que estén en el dominio.
4Tabla de signos de f'Parte la recta en esos puntos y prueba un número en cada tramo.
5Lee la tabla $f'>0$ : crece ↗. $f'<0$ : decrece ↘.

Mírala en acción

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

Crecimiento y puntos críticos

sin dibujarla: solo con el signo de $f'$

Ejercicio: ¿dónde crece y dónde decrece?

\displaystyle f(x)=x^3+3x^2-24x+2

\displaystyle x=-4

\displaystyle x=2

sube: crece $\nearrow$ baja: decrece $\searrow$

$f'$ = pendiente de la tangente

\displaystyle f'>0\ \Rightarrow\ \text{crece}\ \nearrow

\displaystyle f'<0\ \Rightarrow\ \text{decrece}\ \searrow

tangente horizontal: $f'=0$

Paso 1: Dominio

\displaystyle D_f=\mathbb{R}

Paso 2: Derivar y factorizar

\displaystyle f'(x)=3x^2+6x-24

así se ve dónde vale 0

\displaystyle =3\,(\htmlClass{c-in}{x^2+2x-8})

producto $-8$ , suma $2$

\displaystyle =3\,(x+4)(x-2)

Paso 3: Puntos críticos

$f'=0$ o no existe; aquí existe siempre

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(x)=0}\htmlClass{c-b}{\ \Rightarrow\ 3\,(x+4)(x-2)=0}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{x=\htmlClass{c-c1}{-4}}\htmlClass{c-b}{\ \text{ o }\ x=\htmlClass{c-c2}{2}}

Paso 4: Tabla de signos de f'

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(-\infty,-4)}\quad\htmlClass{c-b}{(-4,\,2)}\quad\htmlClass{c-c}{(2,\infty)}

en cada tramo, un solo signo

probamos $-5$ , $0$ y $3$

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\htmlClass{c-fp}{f'}(-5)=3(-1)(-7)}\htmlClass{c-b}{=21>0}

¡en $f'$ , no en $f$ !

\displaystyle f'(0)=3(4)(-2)=-24<0

\displaystyle f'(3)=3(7)(1)=21>0

\displaystyle \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-4) & (-4,\,2) & (2,\infty)\\ \hline f'(x) & \htmlClass{c-s1}{+} & \htmlClass{c-s2}{-} & \htmlClass{c-s3}{+}\\ f & \htmlClass{c-a1}{\nearrow} & \htmlClass{c-a2}{\searrow} & \htmlClass{c-a3}{\nearrow} \end{array}

Paso 5: Leer la tabla

\displaystyle \text{crece en } (-\infty,-4)\cup(2,\infty)

\displaystyle \text{decrece en } (-4,\,2)

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos

0:00 / 3:28

Así queda en tu hoja

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Como $f$ es un polinomio, está definida para todo número real:

\displaystyle D_f=\mathbb{R}

Derivamos término a término con la regla de la potencia y factorizamos:

\displaystyle f'(x)=3x^2+6x-24=3(x^2+2x-8)=3(x+4)(x-2)

La derivada existe en todo $\mathbb{R}$ , así que los puntos críticos son las soluciones de $f'(x)=0$ :

\displaystyle 3(x+4)(x-2)=0\ \Rightarrow\ x=-4\ \text{ o }\ x=2

Ambos pertenecen a $D_f$ , luego son los puntos críticos, y dividen la recta en tres intervalos. Como $3>0$ , el signo de $f'$ lo deciden los factores $x+4$ y $x-2$ :

\displaystyle \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-4) & -4 & (-4,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+4 & - & 0 & + & + & + \\ x-2 & - & - & - & 0 & + \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ f & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \end{array}

Por lo tanto, $f$ es creciente en $(-\infty,-4)\cup(2,+\infty)$ y decreciente en $(-4,2)$ .

\displaystyle \boxed{\begin{array}{l} D_f=\mathbb{R};\quad \text{puntos críticos: } x=-4,\ x=2\\ \text{crece en }(-\infty,-4)\cup(2,+\infty)\\ \text{decrece en }(-4,2) \end{array}}