Regla de la cadena

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

Regla de la cadena

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Una función dentro de otra: $(3x^2+1)^5$ , $\sqrt{x^2+9}$ , $\frac{1}{(x^2+1)^3}$ .

1Separa afuera y adentroLo de adentro es $u$ . Lo de afuera es lo que se le hace a $u$ (una potencia, una raíz…).
2Deriva lo de afueraComo si $u$ fuera $x$ , pero sin tocar $u$ : $(u^5)'\to 5u^4$ .
3Multiplica por la derivada de adentro $\big(f(u)\big)'=f'(u)\cdot u'$ . Este paso es el que más se olvida.
4OrdenaPon los números y factores sueltos adelante y simplifica.

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

función dentro de otra como $(\ldots)^n$ · con calma, paso a paso

Ejercicio: deriva

\displaystyle f(x)=(\htmlClass{c-u}{3x^2+1})^{\htmlClass{c-e}{5}}

\displaystyle (\ldots)(\ldots)(\ldots)(\ldots)(\ldots)

la cadena: ¡pocos pasos!

Paso 1: La idea

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(2x)^2=4x^2}\qquad\htmlClass{c-b}{(4x^2)'=8x}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\big((\htmlClass{c-in}{2x})^{\htmlClass{c-e}{2}}\big)'}\htmlClass{c-a2}{=2\,(2x)}\htmlClass{c-b}{\cdot 2}\htmlClass{c-c}{=8x}

da $4x$ ... ¡falta la mitad!

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(2x)'}\htmlClass{c-b}{=2}

¡la regla de la cadena!

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(u^n)'=n\,\htmlClass{c-u}{u}^{n-1}}\htmlClass{c-b}{\cdot u'}

Paso 2: Afuera y adentro

\displaystyle \htmlClass{c-a}{u=3x^2+1}\qquad\htmlClass{c-b}{f=u^5}

Paso 3: Deriva cada pieza

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(u^{\htmlClass{c-e}{5}})'}\htmlClass{c-b}{=5\,\htmlClass{c-u}{u}^4}

como si $u$ fuera $x$ · $u$ no se toca

\displaystyle \htmlClass{c-a}{u'=(3x^2+\htmlClass{c-uno}{1})'}\htmlClass{c-b}{=6x}\htmlClass{c-cero}{+0}\htmlClass{c-c}{=6x}

Paso 4: La cadena

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(x)=\htmlClass{c-af}{5u^4}}\htmlClass{c-b}{\cdot \htmlClass{c-du}{u'}}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(x)=\htmlClass{c-cinco}{5}\,\htmlClass{c-par}{(3x^2+1)}^{\htmlClass{c-cuatro}{4}}}\htmlClass{c-b}{\cdot\htmlClass{c-seis}{6x}}

¡vuelve completo!

¡el más olvidado! sin él: ¡mal!

Paso 5: Ordena

\displaystyle 5\cdot 6x=30x

\displaystyle f'(x)=30x\,\htmlClass{c-pot}{(3x^2+1)^4}

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos

0:00 / 3:16

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Aplicamos la regla de la cadena. La función exterior es la potencia $u^5$ y la función interior es $u=3x^2+1$ :

\displaystyle u=3x^2+1\;\Rightarrow\;u'=6x

Derivamos la potencia exterior, manteniendo intacta la función interior, y multiplicamos por $u'$ :

\displaystyle f'(x)=5u^4\cdot u'

Reemplazando $u$ y $u'$ :

\displaystyle f'(x)=5(3x^2+1)^4\cdot 6x

Ordenando los factores numéricos ( $5\cdot 6=30$ ):

\displaystyle f'(x)=\boxed{30x(3x^2+1)^4}