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🔁 Repaso

Lección 32 de 32 · Entrena para el certamen

Problemas de certamen

Como vienen en la prueba: a), b), c).

La clave · Una parte alimenta a la otra

a) → b) → c)\displaystyle \text{a)}\ \to\ \text{b)}\ \to\ \text{c)}
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Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

Problemas de certamen

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Un problema largo con varias partes, a), b), c)…, sobre una misma función o situación. Casi siempre cada parte usa lo que calculaste en la anterior.

  1. 1Lee TODAS las partes antes de empezarTe dicen el camino: si c) pide la tangente y a) la derivada, ya sabes para qué sirve a).
  2. 2Anota lo que calculas en cada parteLa derivada, el punto, la pendiente: los vas a reutilizar. Déjalos a la vista, no los borres.
  3. 3Si te trabas en una parte, sigue con la siguienteUsa el resultado que te den (o el tuyo) y vuelve después. Cada parte tiene su puntaje propio.
  4. 4Responde con unidades y en una frase«El costo marginal es 70 pesos por bolsa», no solo «70». Así el corrector ve que entendiste.
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Mírala en acción

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

Problemas de certamen

a), b), c): una parte alimenta a la otra

Ejercicio: sea

f(x)=x3−3x+1\displaystyle f(x)=\htmlClass{c-t1}{x^{\htmlClass{c-e}{3}}}\htmlClass{c-t2}{-3x}\htmlClass{c-uno}{+1}

a) Calcula f′(2)f'(2).

b) ¿Dónde la tangente es horizontal?

c) La tangente en x=0x=0, como y=mx+ny=mx+n.

lee TODAS las partes primero

te muestran el camino

la f′f' de a) sirve en b) y en c)

(xn)′=n xn−1(x^n)'=n\,x^{n-1}

f′(x)=3x2−3\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(x)=}\htmlClass{c-b}{3x^2}\htmlClass{c-c}{-3}

guardo f′f': la uso 3 veces

Paso 1: Parte a)

f′(2)=3⋅22−3=3⋅4−3=12−3=9\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(2)=3\cdot 2^2-3}\htmlClass{c-b}{=3\cdot 4-3}\htmlClass{c-c}{=12-3}\htmlClass{c-d}{=\htmlClass{c-nueve}{9}}

a) en x=2x=2 la pendiente es 9

Paso 2: Parte b)

horizontal: pendiente 0 o sea, f′(x)=0f'(x)=0

3x2−3=0 ⇒ 3x2=3 ⇒ x2=1\displaystyle \htmlClass{c-a}{3x^2-3=0}\htmlClass{c-b}{\ \Rightarrow\ 3x^2=3}\htmlClass{c-c}{\ \Rightarrow\ x^2=1}
x=1ox=−1\displaystyle \htmlClass{c-a}{x=\htmlClass{c-u}{1}}\htmlClass{c-b}{\quad\text{o}\quad x=\htmlClass{c-mu}{-1}}

¡que no se te escape la raíz negativa!

b) horizontal en x=−1x=-1 y en x=1x=1

Paso 3: Parte c)

dos piezas: el punto y la pendiente

x0=0\displaystyle x_0=0

¡el punto, en ff!

f(0)=03−3⋅0+1=1 → (0, 1)\displaystyle \htmlClass{c-a}{f(0)=0^3-3\cdot 0+1}\htmlClass{c-b}{=1}\htmlClass{c-pt}{\ \rightarrow\ (0,\,1)}
m=f′(0)=3⋅02−3=−3\displaystyle \htmlClass{c-a}{m=f'(0)}\htmlClass{c-b}{=3\cdot 0^2-3}\htmlClass{c-c}{=\htmlClass{c-m3}{-3}}

m<0m<0: la recta baja

y−y0=m (x−x0)y-y_0=m\,(x-x_0)

y−1=−3 (x−0)\displaystyle y-1=\htmlClass{c-m}{-3}\,(\htmlClass{c-x}{x}\htmlClass{c-c0}{-0})
y−1=−3x\displaystyle y\htmlClass{c-u}{-1}=-3x
y=−3x+1\displaystyle y=-3x\htmlClass{c-b}{+1}

c) la tangente en x=0x=0 es y=−3x+1y=-3x+1

xy(−1, 3)\displaystyle (-1,\,3)(1, −1)\displaystyle (1,\,-1)(0, 1)\displaystyle (0,\,1)

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos
0:00 / 4:28
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Así queda en tu hoja

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Derivamos ff con la regla de la potencia; la usaremos en las tres partes:

f′(x)=3x2−3\displaystyle f'(x)=3x^2-3

a) Evaluamos la derivada en x=2x=2:

f′(2)=3⋅22−3=9\displaystyle f'(2)=3\cdot 2^2-3=9

b) La tangente es horizontal donde la pendiente es 00, es decir, donde f′(x)=0f'(x)=0:

3x2−3=0 ⟹ x2=1\displaystyle 3x^2-3=0\ \Longrightarrow\ x^2=1
x=−1ox=1\displaystyle x=-1\quad\text{o}\quad x=1

c) El punto de tangencia es (0, f(0))(0,\,f(0)):

f(0)=03−3⋅0+1=1\displaystyle f(0)=0^3-3\cdot 0+1=1

y la pendiente es la derivada en x=0x=0:

m=f′(0)=3⋅02−3=−3\displaystyle m=f'(0)=3\cdot 0^2-3=-3

Con la ecuación punto-pendiente y−y0=m(x−x0)y-y_0=m(x-x_0):

y−1=−3(x−0)\displaystyle y-1=-3(x-0)

Por lo tanto, la recta tangente en x=0x=0 es

y=−3x+1\displaystyle y=\boxed{-3x+1}