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🔁 Repaso

Lección 22 de 32 · Máximos, mínimos y optimización

Máximos y mínimos

Sube y baja: ahí hay una cima.

La clave · Criterios de 1ª y 2ª derivada

f′(c)=0, f′′(c)<0\displaystyle f'(c)=0,\ f''(c)<0
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Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

Máximos y mínimos

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Piden máximos y mínimos relativos, o clasificarlos con los criterios.

  1. 1Puntos críticosDeriva, factoriza e iguala f′(x)=0f'(x)=0.
  2. 2Criterio de la 1ª derivadaEn la tabla de signos: de ++ a −- es máximo; de −- a ++ es mínimo; si no cambia, no es extremo.
  3. 3Calcula la altura en fEl punto es (c, f(c))(c,\,f(c)). Se reemplaza en ff, no en f′f'.
  4. 4Confirma con la 2ª derivadaf′′(c)<0f''(c)<0: máximo. f′′(c)>0f''(c)>0: mínimo. Si f′′(c)=0f''(c)=0, no concluye: manda la tabla.
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Mírala en acción

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

Máximos y mínimos

las cimas y los valles · con calma

Ejercicio: máximos y mínimos relativos de

f(x)=2x3−3x2−12x+4\displaystyle f(x)=2x^3-3x^2-12x+4
xymaˊx\displaystyle \text{máx}mıˊn\displaystyle \text{mín}

relativo: el más alto o el más bajo de su zona

horizontal: pendiente 00, o sea, f′=0f'=0

Paso 1: Puntos críticos

Df=R\displaystyle D_f=\mathbb{R}
f′(x)=6x2−6x−12\displaystyle f'(x)=6x^2-6x-12

para ver dónde vale 0

=6 (x2−x−2)\displaystyle =6\,(\htmlClass{c-in}{x^2-x-2})

producto −2-2, suma −1-1: −2-2 y 11

=6 (x−2)(x+1)\displaystyle =6\,(x-2)(x+1)
f′(x)=0 ⇒ 6 (x−2)(x+1)=0\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(x)=0}\htmlClass{c-b}{\ \Rightarrow\ 6\,(x-2)(x+1)=0}
x=−1  o  x=2\displaystyle \htmlClass{c-a}{x=\htmlClass{c-c1}{-1}}\htmlClass{c-b}{\ \text{ o }\ x=\htmlClass{c-c2}{2}}

Paso 2: Criterio de la primera derivada

¿cambia de dirección?

entre −1-1 y 22: x=0x=0

f′(0)=6(−2)(1)=−12<0 ⇒ ↘\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(0)=6(-2)(1)}\htmlClass{c-b}{=-12<0}\htmlClass{c-c}{\ \Rightarrow\ \searrow}

f′(−2)=24>0f'(-2)=24>0, f′(3)=24>0f'(3)=24>0

x(−∞,−1)−1(−1, 2)2(2,∞)f′(x)+0−0+f↗↘↗\displaystyle \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & \htmlClass{c-x1}{-1} & (-1,\,2) & \htmlClass{c-x2}{2} & (2,\infty)\\ \hline f'(x) & + & \htmlClass{c-z1}{0} & - & \htmlClass{c-z2}{0} & +\\ f & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \end{array}

en −1-1: sube y baja, cima: máximo

en 22: baja y sube, valle: mínimo

Paso 3: La altura, en f

f(−1)=−2−3+12+4=11 → (−1, 11)\displaystyle \htmlClass{c-a}{\htmlClass{c-f}{f}(-1)=-2-3+12+4}\htmlClass{c-b}{=11}\htmlClass{c-pt}{\ \rightarrow\ (-1,\,11)}

¡en ff, no en f′f'!

f(2)=16−12−24+4=−16 → (2, −16)\displaystyle \htmlClass{c-a}{f(2)=16-12-24+4}\htmlClass{c-b}{=-16}\htmlClass{c-pt}{\ \rightarrow\ (2,\,-16)}

Paso 4: Confirmar con f''

f′′(x)=12x−6\displaystyle f''(x)=12x-6
f′′(−1)=−18<0 ⌢ ⇒ maˊx\displaystyle \htmlClass{c-a}{f''(-1)=-18<0}\htmlClass{c-m}{\ \frown}\htmlClass{c-b}{\ \Rightarrow\ \text{máx}}
f′′(2)=18>0 ⌣ ⇒ mıˊn\displaystyle \htmlClass{c-a}{f''(2)=18>0}\htmlClass{c-m}{\ \smile}\htmlClass{c-b}{\ \Rightarrow\ \text{mín}}
maˊx. (−1, 11)mıˊn. (2, −16)\displaystyle \text{máx. }(-1,\,11)\qquad\text{mín. }(2,\,-16)

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos
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Así queda en tu hoja

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Como ff es un polinomio, su dominio es:

Df=R\displaystyle D_f=\mathbb{R}

Derivamos con la regla de la potencia y factorizamos:

f′(x)=6x2−6x−12=6(x2−x−2)=6(x−2)(x+1)\displaystyle f'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x-2)(x+1)

La derivada existe en todo R\mathbb{R}; igualamos a cero para obtener los puntos críticos:

6(x−2)(x+1)=0 ⇒ x=−1  o  x=2\displaystyle 6(x-2)(x+1)=0\ \Rightarrow\ x=-1\ \text{ o }\ x=2

Tabla de signos de f′f' (el factor 66 es positivo):

x(−∞,−1)−1(−1,2)2(2,+∞)x+1−0+++x−2−−−0+f′(x)+0−0+f↗↘↗\displaystyle \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + \\ x-2 & - & - & - & 0 & + \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ f & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \end{array}

Luego, ff es creciente en (−∞,−1)∪(2,+∞)(-\infty,-1)\cup(2,+\infty) y decreciente en (−1,2)(-1,2).

Criterio de la primera derivada. En x=−1x=-1, f′f' cambia de ++ a −-: hay un máximo relativo. En x=2x=2, f′f' cambia de −- a ++: hay un mínimo relativo. Sus ordenadas se calculan en ff:

f(−1)=2(−1)3−3(−1)2−12(−1)+4=11\displaystyle f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+4=11
f(2)=2(2)3−3(2)2−12(2)+4=−16\displaystyle f(2)=2(2)^3-3(2)^2-12(2)+4=-16

Criterio de la segunda derivada. Derivamos nuevamente y evaluamos en cada punto crítico:

f′′(x)=12x−6\displaystyle f''(x)=12x-6
f′′(−1)=12(−1)−6=−18\displaystyle f''(-1)=12(-1)-6=-18
f′′(2)=12(2)−6=18\displaystyle f''(2)=12(2)-6=18

Como f′′(−1)=−18<0f''(-1)=-18<0, en x=−1x=-1 hay un máximo relativo; como f′′(2)=18>0f''(2)=18>0, en x=2x=2 hay un mínimo relativo. Ambos criterios coinciden.

maˊx. rel. (−1, 11)mıˊn. rel. (2, −16)\displaystyle \boxed{\begin{array}{l} \text{máx. rel. }(-1,\,11)\\ \text{mín. rel. }(2,\,-16) \end{array}}