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Lección 29 de 32 · Entrena para el certamen

¿Qué regla uso?

Nadie te dice de qué lección es.

📋 Receta en 4 pasos
▶ Clase de 4 min
✏️ 17 ejercicios ↓
✓ Lección gratis completa

La clave · Mira la última operación

\displaystyle x^2\sen x\ \to\ \text{producto}

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1

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

¿Qué regla uso?

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Siempre, antes de derivar. Sobre todo cuando la función mezcla varias cosas: $x^2e^{-x}$ , $\sqrt{\frac{x}{x+1}}$ , $x^{\sen x}$ , $xy+\ln y=x^2$ .

1Mira la ÚLTIMA operación¿Qué es lo último que se hace? ¿Sumar o restar términos, multiplicar dos factores, dividir, meter algo dentro de algo, elevar con $x$ en la base y en el exponente, o hay $x$ e $y$ mezcladas?
2Esa operación mandaSu regla ordena la derivada: suma → término a término; producto → $u'v+uv'$ ; cociente → $\frac{u'v-uv'}{v^2}$ ; algo dentro de algo → cadena; $x$ arriba y abajo → logarítmica; $x$ e $y$ mezcladas → implícita.
3Las otras reglas van adentroAparecen al derivar cada pieza. En $x^2e^{3x}$ manda el producto, y la cadena aparece recién al derivar $e^{3x}$ .
4Recién ahí derivaCon la estructura clara, derivar es solo seguir la receta de la regla que manda.

2

Mírala en acción

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

¿Qué regla uso?

nadie te dice la lección · con calma, paso a paso

Ejercicio: ¿qué regla manda?

\displaystyle f(x)=\htmlClass{c-u}{x^2}\htmlClass{c-por}{\,\cdot\,}\htmlClass{c-v}{e^{3x}}

primero mirar, después derivar

Paso 1: Mira la última operación

si calculas: 1º $x^2$ 2º $e^{3x}$ 3º multiplicar

última operación: ×

¿cadena?

adentro, en una pieza

¿cociente?

no hay división

¡manda el producto!

Paso 2: Esa operación manda

\displaystyle \htmlClass{c-a}{u+v}\ \htmlClass{c-b}{\to\ \text{término a término}}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{u\cdot v\ \to\ \text{producto}}\qquad\htmlClass{c-b}{\frac{u}{v}\ \to\ \text{cociente}}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{u(v(x))\ \to\ \text{cadena}}\qquad\htmlClass{c-b}{x^{\sen x}\ \to\ \text{logarítmica}}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{xy+\ln y=x^2}\ \htmlClass{c-b}{\to\ \text{implícita}}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\sen(\htmlClass{c-in}{x^2})}\ \htmlClass{c-b}{\to\ \text{último: el seno}}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\sen^2 x=(\sen x)^{\htmlClass{c-e}{2}}}\ \htmlClass{c-b}{\to\ \text{último: el cuadrado}}

las dos: cadena, pero al revés

Paso 3: Las otras reglas van adentro

\displaystyle \htmlClass{c-u}{u=x^2}\qquad\htmlClass{c-v}{v=e^{3x}}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{u'=(x^{\htmlClass{c-e}{2}})'}\htmlClass{c-b}{=2x^{2-1}}\htmlClass{c-c}{=2x}

potencia simple

\displaystyle \htmlClass{c-a}{v'=(e^{\htmlClass{c-in}{3x}})'}\htmlClass{c-b}{=e^{3x}}\htmlClass{c-c}{\cdot\htmlClass{c-tres}{3}}\htmlClass{c-d}{=3e^{3x}}

¡la cadena, adentro!

Paso 4: Recién ahí deriva

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(u\cdot v)'=u'\cdot v}\htmlClass{c-b}{+u\cdot v'}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(x)=2x\cdot e^{3x}}\htmlClass{c-b}{+x^2\cdot 3e^{3x}}

\displaystyle =\htmlClass{c-a}{2\htmlClass{c-x1}{x}\,\htmlClass{c-e1}{e^{3x}}}\htmlClass{c-b}{+3\htmlClass{c-x2}{x^2}\htmlClass{c-e2}{e^{3x}}}

factor común: $xe^{3x}$

\displaystyle f'(x)=\htmlClass{c-fc}{xe^{3x}}\,(\htmlClass{c-dos}{2}+\htmlClass{c-tx}{3x})

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos

0:00 / 4:08

3

Así queda en tu hoja

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Miramos la estructura: lo último que se hace es multiplicar $x^2$ por $e^{3x}$ , así que manda la regla del producto, con $u=x^2$ y $v=e^{3x}$ .

Derivamos cada factor (en $v$ aparece la regla de la cadena):

\displaystyle u'=2x

\displaystyle v'=3e^{3x}

Aplicamos $(uv)'=u'v+uv'$ :

\displaystyle f'(x)=2x\cdot e^{3x}+x^2\cdot 3e^{3x}

Sacamos factor común $xe^{3x}$ :

\displaystyle f'(x)=\boxed{xe^{3x}(2+3x)}