Optimización

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

Optimización

5 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Un problema con palabras: maximizar ingreso o beneficio, minimizar costo, una caja o un cercado.

1VariablesAnota qué es cada letra y qué se quiere maximizar o minimizar.
2Arma la funciónPrecio desde la demanda, $I=p\cdot q$ , $B=I-C$ , $C_M=\frac{C}{q}$ … en una sola variable.
3DominioQué valores tienen sentido ( $q\ge 0$ , un intervalo, etc.).
4Deriva e iguala a ceroDespeja la variable.
5Justifica e interpreta $f''<0$ es máximo, $f''>0$ mínimo (o compara con los bordes). Responde con unidades.

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

¿cuánto vender para ganar lo máximo?

Ejercicio: maximiza el beneficio

\displaystyle \text{demanda: }q=1000-2p

\displaystyle C(q)=20{.}000+50q+0{,}25q^2

¿unidades? ¿precio? ¿ganancia?

Paso 1: Variables

\displaystyle q=\text{unidades},\quad p=\text{precio}

\displaystyle \text{maximizar: }\htmlClass{c-b}{B(q)}

Paso 2: Arma la función

todo en función de $q$

\displaystyle q=1000-2p\ \Rightarrow\ 2p=1000-q

\displaystyle p=500-\frac{q}{2}

ingreso: dinero que entra $q$ unidades a $p$ c/u

\displaystyle \htmlClass{c-a}{I=p\cdot q}\htmlClass{c-b}{=\left(500-\frac{q}{2}\right)q}

\displaystyle =500q-\frac{q^2}{2}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{B}\htmlClass{c-i}{=\underbrace{I}_{\text{entra}}}\htmlClass{c-c}{-\underbrace{C}_{\text{cuesta}}}

\displaystyle B=500q-\frac{q^2}{2}

\displaystyle \quad\htmlClass{c-signo}{-}\htmlClass{c-par}{(20{.}000+50q+0{,}25q^2)}

\displaystyle =\htmlClass{c-qa}{500q}\htmlClass{c-q2a}{-\frac{q^2}{2}}-20{.}000\htmlClass{c-qb}{-50q}\htmlClass{c-q2b}{-0{,}25q^2}

\displaystyle B(q)=-0{,}75q^2+450q-20{.}000

Paso 3: Dominio

\displaystyle \htmlClass{c-a}{q\geq 0,}\ \htmlClass{c-b}{p\geq 0}\htmlClass{c-c}{\ \Rightarrow\ 0\leq q\leq 1000}

\displaystyle

\displaystyle (300,\,47{.}500)

mucho $q$ $\Rightarrow$ $p$ muy bajo

ni sube ni baja: pendiente $0$

\displaystyle \text{cima}\ \Rightarrow\ B'(q)=0

Paso 4: Deriva e iguala a cero

\displaystyle B'(q)=-1{,}5q+450

\displaystyle -1{,}5q+450=0

\displaystyle q=\frac{450}{1{,}5}=\htmlClass{c-q}{300}

Paso 5: Justifica e interpreta

\displaystyle \htmlClass{c-a}{B''(q)=-1{,}5}\htmlClass{c-neg}{<0}\htmlClass{c-b}{\ \Rightarrow\ \text{máximo}}

\displaystyle p=500-\frac{300}{2}=350

\displaystyle \htmlClass{c-a}{B(300)}\htmlClass{c-b}{=-67{.}500+135{.}000-20{.}000}

\displaystyle =47{.}500

\displaystyle \htmlClass{c-a}{q=300,}\quad\htmlClass{c-b}{p=350,}\quad\htmlClass{c-c}{B_{\text{máx}}=\htmlClass{c-v}{47{.}500}}

¡responde con unidades!

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos

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El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Sean $q$ las unidades vendidas y $p$ el precio por unidad. Despejamos el precio de la demanda $q=1{.}000-2p$ :

\displaystyle p(q)=500-\frac{q}{2}

El ingreso es el precio por la cantidad:

\displaystyle I(q)=p\cdot q

\displaystyle I(q)=\left(500-\frac{q}{2}\right)q

\displaystyle =500q-\frac{q^2}{2}

La función a maximizar es el beneficio, ingreso menos costo:

\displaystyle B(q)=I(q)-C(q)

\displaystyle B(q)=500q-\frac{q^2}{2}-(20{.}000+50q+0{,}25q^2)

\displaystyle =-0{,}75q^2+450q-20{.}000

Como $q\ge 0$ y $p\ge 0$ , el dominio es $0\le q\le 1{.}000$ . Derivamos e igualamos a cero:

\displaystyle B'(q)=-1{,}5q+450

\displaystyle -1{,}5q+450=0

\displaystyle q=\frac{450}{1{,}5}=300

Justificamos con la segunda derivada:

\displaystyle B''(q)=-1{,}5<0

Luego, en $q=300$ el beneficio es máximo. Calculamos el precio y el beneficio máximo:

\displaystyle p=500-\frac{300}{2}=350

\displaystyle B(300)=-0{,}75(300)^2+450(300)-20{.}000

\displaystyle =-67{.}500+135{.}000-20{.}000

\displaystyle =47{.}500

Por lo tanto,

\displaystyle q=300,\quad p=350,\quad B_{\text{máx}}=\boxed{47{.}500}

A la empresa le conviene vender $300$ unidades a un precio de $350$ u.m. cada una; así obtiene el beneficio máximo, de $47{.}500$ u.m.