Segunda derivada y más

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Te piden $f''$ , $f'''$ o un valor como $f''(0)$ .

1Calcula f' y simplifícalaUna derivada simplificada es mucho más fácil de volver a derivar.
2Deriva otra vez $f''=(f')'$ , con las mismas reglas.
3Repite si hace faltaPara $f'''$ , deriva $f''$ .
4Si te piden un valor, reemplaza al finalPrimero la expresión completa; después reemplazas $x$ .

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

cuando piden $f''$ y para la concavidad

con calma, paso a paso

Ejercicio: calcula $f''(x)$ si

\displaystyle f(x)=x^4-3x^2+\sen x

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f^{\htmlClass{c-pp}{\prime\prime}}(x)}\htmlClass{c-b}{=\big(\htmlClass{c-in}{f'(x)}\big)\htmlClass{c-out}{'}}

se lee: f segunda o f prima prima

$f'$ : cómo cambia $f$ $f''$ : cómo cambia $f'$

\displaystyle \htmlClass{c-p}{\underset{\text{posición}}{f}}\htmlClass{c-v}{\;\to\;\underset{\text{velocidad}}{f'}}\htmlClass{c-ac}{\;\to\;\underset{\text{aceleración}}{f''}}

Paso 1: La primera derivada

\displaystyle f'(x)=(x^4)'-(3x^2)'+(\sen x)'

\displaystyle \htmlClass{c-a}{=4x^3}\htmlClass{c-b}{-6x}\htmlClass{c-c}{+\cos x}

\displaystyle f'(x)=4x^3-6x+\cos x

¿se puede simplificar?

más simple, menos errores

Paso 2: Derivar otra vez

\displaystyle f''(x)=(4x^3)'-(6x)'+(\cos x)'

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(\htmlClass{c-k}{4}x^{\htmlClass{c-e}{3}})'}\htmlClass{c-b}{=4\cdot 3\,x^2}\htmlClass{c-c}{=12x^2}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(6x)'}\htmlClass{c-b}{=6\cdot\htmlClass{c-uno}{1}}\htmlClass{c-c}{=6}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(\cos x)'}\htmlClass{c-b}{=\htmlClass{c-menos}{-}\sen x}

¡no lo olvides!

Paso 3: Juntar con sus signos

\displaystyle f''(x)=12x^2-6-\sen x

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'''=(f'')'}\htmlClass{c-b}{=24x-\cos x}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f''(0)}\htmlClass{c-b}{=12\cdot 0^2-6-\sen 0=-6}

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos

0:00 / 3:07

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

La segunda derivada es la derivada de la primera: $f''(x)=\big(f'(x)\big)'$ .

Derivamos término a término, con la regla de la potencia y $(\sen x)'=\cos x$ :

\displaystyle f'(x)=(x^4)'-(3x^2)'+(\sen x)'

\displaystyle =4x^3-6x+\cos x

Derivamos nuevamente $f'(x)$ , usando que $(\cos x)'=-\sen x$ :

\displaystyle f''(x)=4\cdot 3x^2-6-\sen x

Por lo tanto,

\displaystyle f''(x)=\boxed{12x^2-6-\sen x}