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🔁 Repaso

Lección 15 de 32 · Tangente, normal y tasa de cambio

Tasa de variación

Cuánto cambia: en promedio y al instante.

La clave · Secante y tangente

f(b)−f(a)b−a\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
1

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

Tasa de variación

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Piden la tasa de variación media, la tasa instantánea o el costo o ingreso marginal.

  1. 1Tasa media en [a, b]f(b)−f(a)b−a\frac{f(b)-f(a)}{b-a}: cuánto cambia en promedio (la pendiente de la secante).
  2. 2Tasa instantánea en aDeriva y evalúa: f′(a)f'(a) (la pendiente de la tangente).
  3. 3Marginal es derivadaCosto marginal C′(q)C'(q), ingreso marginal I′(q)I'(q).
  4. 4Interpreta con unidades«Por cada unidad más, el costo aumenta aproximadamente…».
2

Mírala en acción

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

Tasa de variación

cambio promedio de f entre dos valores de x

¿cuánto sube en un tramo?

Ejercicio: calcula la tasa de variación media de

f(x)=x2+3xen [1, 3]\displaystyle f(x)=x^2+3x\quad\text{en } [1,\,3]
xy(1, 4)\displaystyle (1,\,4)(3, 18)\displaystyle (3,\,18)
TVM=msecante\displaystyle \text{TVM}=m_{\text{secante}}

la curva no sube parejo: sube 6, y luego 8

la secante: 7 y 7, parejito

Paso 1: La fórmula

TVM[a, b]=f(b)−f(a)b−a\displaystyle \text{TVM}_{[a,\,b]}=\frac{\htmlClass{c-arriba}{\htmlClass{c-fb}{f(b)}-\htmlClass{c-fa}{f(a)}}}{\htmlClass{c-abajo}{\htmlClass{c-b}{b}-\htmlClass{c-a}{a}}}

lo que sube partido por lo que avanza

Paso 2: Evaluar en los extremos

necesitamos f(1)f(1) y f(3)f(3)

f(1)=12+3⋅1=4 → (1, 4)\displaystyle \htmlClass{c-a}{f(1)=1^2+3\cdot 1}\htmlClass{c-b}{=4}\htmlClass{c-pt}{\ \rightarrow\ (1,\,4)}
f(3)=32+3⋅3=18 → (3, 18)\displaystyle \htmlClass{c-a}{f(3)=3^2+3\cdot 3}\htmlClass{c-b}{=18}\htmlClass{c-pt}{\ \rightarrow\ (3,\,18)}

Paso 3: Reemplazar en la fórmula

TVM[1, 3]=f(3)−f(1)3−1\displaystyle \text{TVM}_{[1,\,3]}=\frac{\htmlClass{c-fb}{f(3)}-\htmlClass{c-fa}{f(1)}}{\htmlClass{c-b}{3}-\htmlClass{c-a}{1}}

¡ojo! mismo orden

=18−42=142\displaystyle \htmlClass{c-a}{=\frac{\htmlClass{c-sube}{18-4}}{\htmlClass{c-avanza}{2}}}\htmlClass{c-c}{=\frac{\htmlClass{c-k}{14}}{2}}
=7\displaystyle =\htmlClass{c-siete}{7}

Paso 4: Interpretar

En promedio, ff sube 77 por cada unidad que avanza xx.

7⋅2=14\displaystyle \htmlClass{c-a}{7\cdot 2}\htmlClass{c-b}{=\htmlClass{c-k}{14}}

Paso 5: Media e instantánea

instantánea: un solo punto, justo en x=1x=1

mtg=f′(1)=2⋅1+3=5\displaystyle \htmlClass{c-a}{m_{\text{tg}}=f'(1)}\htmlClass{c-b}{=2\cdot 1+3=\htmlClass{c-cinco}{5}}

f′(x)=2x+3f'(x)=2x+3

tangente 5, secante 7: rectas distintas

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos
0:00 / 3:30
3

Así queda en tu hoja

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

La tasa de variación media de ff en [a, b][a,\,b] es la pendiente de la recta secante:

TVM[a, b]=f(b)−f(a)b−a\displaystyle \text{TVM}_{[a,\,b]}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

Evaluamos ff en los extremos del intervalo:

f(1)=12+3⋅1=4\displaystyle f(1)=1^2+3\cdot 1=4
f(3)=32+3⋅3=18\displaystyle f(3)=3^2+3\cdot 3=18

Reemplazamos en la fórmula:

TVM[1, 3]=f(3)−f(1)3−1\displaystyle \text{TVM}_{[1,\,3]}=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}
=18−42\displaystyle =\frac{18-4}{2}
=7\displaystyle =\boxed{7}

Es decir, entre x=1x=1 y x=3x=3, ff aumenta en promedio 77 unidades por cada unidad que aumenta xx.