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🔁 Repaso

Lección 4 de 32 · Calcular derivadas

Regla del cociente

Arriba resta, abajo al cuadrado.

La clave · Regla del cociente

(uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}
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Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

Regla del cociente

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Una fracción con xx arriba y abajo: x2+1x−1\frac{x^2+1}{x-1}.

  1. 1Nombra u (arriba) y v (abajo)uu es el numerador y vv el denominador.
  2. 2Deriva cada unoCalcula u′u' y v′v'.
  3. 3Arma la regla(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. El orden importa: primero u′vu'v.
  4. 4Simplifica el numeradorDesarrolla y junta términos arriba; el denominador queda como v2v^2.
2

Mírala en acción

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

Regla del cociente

xx arriba y xx abajo · con calma, paso a paso

Ejercicio: deriva

f(x)=x2+1x−1\displaystyle f(x)=\frac{\htmlClass{c-u}{x^2+1}}{\htmlClass{c-v}{x-1}}

¡regla del cociente!

Paso 1: La regla

arriba: uu abajo: vv

(uv)′=u′⋅v−u⋅v′v2\displaystyle \htmlClass{c-a}{\left(\frac{u}{v}\right)'=}\htmlClass{c-b}{\frac{\htmlClass{c-uv}{u'\cdot v}\htmlClass{c-menos}{-}\htmlClass{c-udv}{u\cdot v'}}{\htmlClass{c-v2}{v^2}}}

1º deriva uu, vv espera

2º resta u⋅v′u\cdot v'

¡el orden importa!

5−3=23−5=−2\displaystyle \htmlClass{c-a}{5-3=2}\qquad\htmlClass{c-b}{3-5=-2}

¡ojo! error común

(uv)′=u′v′\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'}{v'}

¡no por separado!

Paso 2: Nombra u y v

u=x2+1v=x−1\displaystyle \htmlClass{c-u}{u=x^2+1}\qquad\htmlClass{c-v}{v=x-1}

Paso 3: Deriva cada uno

u′=(x2+1)′=2x+0=2x\displaystyle \htmlClass{c-a}{u'=(x^2+\htmlClass{c-uno}{1})'}\htmlClass{c-b}{=2x}\htmlClass{c-cero}{+0}\htmlClass{c-c}{=2x}
v′=(x−1)′=1−0=1\displaystyle \htmlClass{c-a}{v'=(x\htmlClass{c-uno}{-1})'}\htmlClass{c-b}{=1}\htmlClass{c-cero}{-0}\htmlClass{c-c}{=1}

Paso 4: Arma la regla

f′(x)=2x (x−1)−(x2+1)⋅1(x−1)2\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(x)=}\htmlClass{c-b}{\frac{2x\,(x-1)\htmlClass{c-menos}{-}(x^2+1)\cdot 1}{\htmlClass{c-den}{(x-1)^2}}}

Paso 5: Simplifica arriba

2x (x−1)=2x2−2x\displaystyle \htmlClass{c-a}{\htmlClass{c-k}{2x}\,(\htmlClass{c-t1}{x}\htmlClass{c-t2}{-1})}\htmlClass{c-b}{=\htmlClass{c-x2}{2x^2}-2x}
−(x2+1)=−x2−1\displaystyle \htmlClass{c-a}{\htmlClass{c-neg}{-}(\htmlClass{c-t1}{x^2}\htmlClass{c-t2}{+1})}\htmlClass{c-b}{=\htmlClass{c-x2}{-x^2}\htmlClass{c-uno}{-1}}
2x2−x2=x2\displaystyle \htmlClass{c-a}{2x^2-x^2}\htmlClass{c-b}{=x^2}
f′(x)=x2−2x−1(x−1)2\displaystyle f'(x)=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos
0:00 / 3:20
3

Así queda en tu hoja

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Aplicamos la regla del cociente, (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}, con u=x2+1u=x^2+1 y v=x−1v=x-1.

Derivamos el numerador y el denominador:

u′=2x,v′=1\displaystyle u'=2x,\qquad v'=1

Reemplazando en la regla:

f′(x)=2x(x−1)−(x2+1)⋅1(x−1)2\displaystyle f'(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+1)\cdot 1}{(x-1)^2}
=2x2−2x−x2−1(x−1)2\displaystyle =\frac{2x^2-2x-x^2-1}{(x-1)^2}

Reduciendo términos semejantes en el numerador:

f′(x)=x2−2x−1(x−1)2\displaystyle f'(x)=\boxed{\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}}