Recta tangente

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

Recta tangente

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Recta tangente a $f$ en $x=a$ , o puntos donde la tangente es horizontal o paralela a una recta.

1Calcula el punto $y_0=f(a)$ , en $f$ (no en $f'$ ).
2Calcula la pendienteDeriva y evalúa: $m=f'(a)$ .
3Usa punto-pendiente $y-y_0=m(x-a)$ .
4Despeja yDeja la recta como $y=mx+n$ . Si piden pendiente dada: iguala $f'(x)=m$ y despeja $x$ .

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

típica de prueba: 2 piezas, punto y pendiente

Ejercicio: encuentra la recta tangente a

\displaystyle f(x)=x^2-3x+1\quad\text{en } x=3

\displaystyle (3,\,1)

toca en ese punto, con su misma inclinación

de cerca, casi iguales

inclinación = derivada

\displaystyle m=f'(x_0)

Fórmula punto-pendiente:

\displaystyle y-\htmlClass{c-y0}{y_0}=\htmlClass{c-m}{m}\,(x-\htmlClass{c-x0}{x_0})

Paso 1: El punto

\displaystyle x_0=3

\displaystyle \htmlClass{c-a}{y_0=\htmlClass{c-f}{f}(3)}\htmlClass{c-b}{=3^2-3\cdot 3+1}

¡ojo! en $f$ , no en $f'$ : el punto está en la curva

\displaystyle \htmlClass{c-a}{=9-9+1}\htmlClass{c-c}{=1}\htmlClass{c-pt}{\ \rightarrow\ (3,\,1)}

Paso 2: La pendiente

$m=f'(x_0)$ , con $x_0=3$

$(x^n)'=n\,x^{n-1}$

\displaystyle f'(x)=2x-3

\displaystyle \htmlClass{c-a}{m=f'(3)}\htmlClass{c-b}{=2\cdot 3-3}\htmlClass{c-c}{=\htmlClass{c-tres}{3}}

1 a la derecha, 3 arriba

Paso 3: Armar la recta

punto $(3,\,1)$ y pendiente $m=3$

\displaystyle y-1=\htmlClass{c-tres}{3}\,(\htmlClass{c-x}{x}\htmlClass{c-m3}{-3})

\displaystyle \htmlClass{c-i}{y\htmlClass{c-u}{-1}=}\htmlClass{c-a}{3x}\htmlClass{c-b}{-9}

\displaystyle y=3x\htmlClass{c-k}{-9\htmlClass{c-u}{+1}}

\displaystyle y=3x-8

comprobemos en $x=3$ : ¿pasa por $(3,\,1)$ ?

\displaystyle \htmlClass{c-a}{3\cdot 3-8}\htmlClass{c-b}{=\htmlClass{c-uno}{1}}

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos

0:00 / 3:14

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Calculamos el punto de tangencia, evaluando $f$ en $x_0=3$ :

\displaystyle f(3)=3^2-3\cdot 3+1=1

Luego, $P=(3,\,1)$ . Derivamos con la regla de la potencia:

\displaystyle f'(x)=2x-3

La pendiente de la recta tangente es la derivada evaluada en $x_0=3$ :

\displaystyle m_T=f'(3)=2\cdot 3-3=3

Reemplazamos en la ecuación punto-pendiente $y-y_0=m_T(x-x_0)$ :

\displaystyle y-1=3(x-3)

Despejando $y$ :

\displaystyle y=3x-9+1

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es

\displaystyle y=\boxed{3x-8}