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🔁 Repaso

Lección 17 de 32 · Tangente, normal y tasa de cambio

Recta normal

Perpendicular a la tangente.

La clave · Pendiente: −1 / m tangente

mN=−1mT\displaystyle m_N=-\frac{1}{m_T}
1

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

Recta normal

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Recta normal (perpendicular a la tangente) a ff en x=ax=a.

  1. 1Calcula el puntoy0=f(a)y_0=f(a).
  2. 2Pendiente de la tangentemT=f′(a)m_T=f'(a).
  3. 3Da vuelta y cambia el signomN=−1mTm_N=-\frac{1}{m_T}. Si mT=0m_T=0, la normal es vertical: x=ax=a.
  4. 4Punto-pendiente con m_Ny−y0=mN(x−a)y-y_0=m_N(x-a) y despeja yy.
2

Mírala en acción

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

Recta normal

casi como la tangente... con un solo cambio

Ejercicio: encuentra la recta normal a

f(x)=x2−3x+2en x=3\displaystyle f(x)=x^2-3x+2\quad\text{en } x=3
xy(3, 2)\displaystyle \hspace{1.6em}(3,\,2)

normal ⊥\perp tangente

mN=−1mT\displaystyle m_N=\htmlClass{c-menos}{-}\htmlClass{c-vuelta}{\frac{1}{m_T}}

Paso 1: El punto

y0=f(3)=32−3⋅3+2=2 → (3, 2)\displaystyle \htmlClass{c-a}{y_0=f(3)}\htmlClass{c-b}{=3^2-3\cdot 3+2}\htmlClass{c-c}{=2}\htmlClass{c-pt}{\ \rightarrow\ (3,\,2)}

Paso 2: La pendiente de la tangente

la normal necesita mTm_T

f′(x)=2x−3\displaystyle f'(x)=2x-3
mT=f′(3)=2⋅3−3=3\displaystyle \htmlClass{c-a}{m_T=f'(3)}\htmlClass{c-b}{=2\cdot 3-3}\htmlClass{c-c}{=\htmlClass{c-tres}{3}}

Paso 3: La pendiente de la normal

mN=−13\displaystyle \htmlClass{c-a}{m_N=}\htmlClass{c-s}{-}\htmlClass{c-f}{\frac{1}{3}}
31 ⟶ −13\displaystyle \htmlClass{c-t}{\frac{3}{1}}\htmlClass{c-flecha}{\ \longrightarrow\ }\htmlClass{c-n}{-\frac{1}{3}}

sube 3, avanza 1; baja 1, avanza 3

mT⋅mN=3⋅(−13)=−1\displaystyle \htmlClass{c-p}{m_T\cdot m_N}\htmlClass{c-a}{=3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)}\htmlClass{c-b}{=\htmlClass{c-uno}{-1}}

rectas ⊥\perp: producto −1-1

mT=0 ⇒ x=x0\displaystyle \htmlClass{c-a}{m_T=0}\htmlClass{c-b}{\ \Rightarrow\ x=x_0}

10\frac{1}{0} no existe

Paso 4: Armar la recta

y−2=−13 (x−3)\displaystyle y-2=\htmlClass{c-m}{-\frac{1}{3}}\,(\htmlClass{c-x}{x}\htmlClass{c-m3}{-3})

−13-\frac{1}{3}, no 33

y−2=−13x+1\displaystyle \htmlClass{c-i}{y\htmlClass{c-u}{-2}=}\htmlClass{c-a}{-\frac{1}{3}x}\htmlClass{c-b}{+1}
y=−13x+1+2\displaystyle y=-\frac{1}{3}x\htmlClass{c-k}{+1\htmlClass{c-u}{+2}}
y=−13x+3\displaystyle y=-\frac{1}{3}x+3

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos
0:00 / 3:18
3

Así queda en tu hoja

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Calculamos el punto, evaluando ff en x0=3x_0=3:

f(3)=32−3⋅3+2=2\displaystyle f(3)=3^2-3\cdot 3+2=2

Luego, P=(3, 2)P=(3,\,2). Derivamos con la regla de la potencia:

f′(x)=2x−3\displaystyle f'(x)=2x-3

La pendiente de la recta tangente en x0=3x_0=3 es

mT=f′(3)=2⋅3−3=3\displaystyle m_T=f'(3)=2\cdot 3-3=3

Como la recta normal es perpendicular a la tangente, su pendiente es

mN=−1mT=−13\displaystyle m_N=-\frac{1}{m_T}=-\frac{1}{3}

Reemplazamos en la ecuación punto-pendiente y−y0=mN(x−x0)y-y_0=m_N(x-x_0):

y−2=−13(x−3)\displaystyle y-2=-\frac{1}{3}(x-3)

Despejando yy:

y=−13x+1+2\displaystyle y=-\frac{1}{3}x+1+2

Por lo tanto, la ecuación de la recta normal es

y=−13x+3\displaystyle y=\boxed{-\frac{1}{3}x+3}