Razones de cambio relacionadas

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Dos o más cantidades cambian con el tiempo y una ecuación las une (Pitágoras, un área, $I=p\,q$ ): te dan una tasa y piden otra.

1Dibuja y nombraPonle letra a cada cantidad que cambia. Anota las tasas que conoces (con su signo: lo que baja va con menos) y la que piden.
2La ecuación que las unePitágoras, un área o un volumen, triángulos semejantes, $I=p\,q$ … Si sobra una variable, elimínala antes de derivar.
3Deriva respecto de tRegla de la cadena: cada variable trae su tasa, $(x^2)'=2x\frac{dx}{dt}$ . Un producto, con la regla del producto.
4Reemplaza y despejaRecién ahora pon los valores del instante (calcula los que falten) y despeja la tasa pedida.

Mírala en acción

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

Razones de cambio relacionadas

dos cosas cambian juntas cada una con su velocidad

te dan una velocidad, piden la otra

Ejercicio: una escalera de $10$ m resbala.

La base se aleja de la pared a $2$ m/s.

¿A qué velocidad baja la punta, con la base a $6$ m?

Paso 1: Dibujar y nombrar

triángulo: pared, piso y escalera

$x$ : base a la pared $y$ : altura de la punta

¡las dos cambian con $t$ !

$x$ crece $y$ baja

escalera fija: 10 m es la hipotenusa

\displaystyle \htmlClass{c-a}{x^2+y^2}\htmlClass{c-b}{=10^2}\htmlClass{c-c}{=100}

$x'$ : velocidad de $x$ , en metros por segundo

\displaystyle \htmlClass{c-x}{x'=2}\qquad\htmlClass{c-y}{y'=\,?}

¿ $y'$ ? ¡la incógnita!

Paso 2: Derivar respecto del tiempo

$x$ e $y$ dependen de $t$ regla de la cadena

¡cada variable trae su prima!

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(x^2)'}\htmlClass{c-b}{=2x}\htmlClass{c-c}{\cdot\htmlClass{c-xp}{x'}}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(y^2)'}\htmlClass{c-b}{=2y}\htmlClass{c-c}{\cdot\htmlClass{c-yp}{y'}}

\displaystyle (100)'=\htmlClass{c-cero}{0}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\htmlClass{c-d1}{2}x\,\htmlClass{c-xp}{x'}}\htmlClass{c-b}{+\htmlClass{c-d2}{2}y\,\htmlClass{c-yp}{y'}}\htmlClass{c-c}{=0}

¡las velocidades!

todavía sin números

\displaystyle x\,x'+\htmlClass{c-y}{y}\,y'=0

Paso 3: Los valores del instante

en ese instante: $x=6$ ¿cuánto vale $y$ ?

\displaystyle \htmlClass{c-a}{y^2=100-6^2}\htmlClass{c-b}{=100-36}\htmlClass{c-c}{=64}

\displaystyle y=\sqrt{64}=\htmlClass{c-ocho}{8}

Paso 4: Reemplazar y despejar

¡recién ahora van los números!

\displaystyle \htmlClass{c-x}{x=6}\qquad\htmlClass{c-xp}{x'=2}\qquad\htmlClass{c-y}{y=8}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{6\cdot 2}\htmlClass{c-b}{+8\cdot y'}\htmlClass{c-c}{=0}

\displaystyle \htmlClass{c-d12}{12}+8\,y'=0

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\htmlClass{c-ocho}{8}\,y'}\htmlClass{c-b}{=\htmlClass{c-m12}{-12}}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{y'=-\frac{12}{8}}\htmlClass{c-b}{=-\frac{3}{2}}\htmlClass{c-c}{=-1{,}5}

\displaystyle y'=\htmlClass{c-res}{-1{,}5}\ \text{m/s}

signo menos: $y$ baja la punta cae

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos

0:00 / 4:22

Así queda en tu hoja

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Sean $x$ la distancia de la base de la escalera a la pared e $y$ la altura de su extremo superior (en metros); las dos cambian con el tiempo $t$ (en segundos). Como la escalera mide $10$ m, por el teorema de Pitágoras:

\displaystyle x^2+y^2=100

Sabemos que $\frac{dx}{dt}=2$ m/s y buscamos $\frac{dy}{dt}$ cuando $x=6$ . Derivamos ambos lados respecto de $t$ (regla de la cadena: cada variable trae su tasa):

\displaystyle 2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0

En ese instante, la altura es:

\displaystyle y=\sqrt{100-6^2}=\sqrt{64}=8

Reemplazamos $x=6$ , $y=8$ y $\frac{dx}{dt}=2$ , y despejamos:

\displaystyle 2(6)(2)+2(8)\frac{dy}{dt}=0

\displaystyle \frac{dy}{dt}=-\frac{24}{16}=-\frac{3}{2}

Por lo tanto,

\displaystyle \frac{dy}{dt}=\boxed{-1{,}5}\ \text{m/s}

El extremo superior baja a razón de $1{,}5$ m/s: el signo negativo indica que la altura disminuye.