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🔁 Repaso

Lección 25 de 32 · Máximos, mínimos y optimización

Extremos absolutos en [a, b]

Compara críticos y bordes.

La clave · Críticos y bordes

[a, b]\displaystyle [a,\,b]
1

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

Extremos absolutos en [a, b]

3 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Máximo y mínimo absolutos en un intervalo cerrado [a,b][a,b].

  1. 1Puntos críticos dentro del intervaloLos que quedan fuera de [a, b] se descartan.
  2. 2Evalúa f en críticos y bordesCalcula ff en cada crítico, en aa y en bb.
  3. 3ComparaEl valor más grande es el máximo absoluto; el más chico, el mínimo.
2

Mírala en acción

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

Extremos absolutos

en [a, b][a,\,b] cerrado: el más alto y el más bajo

Ejercicio: extremos absolutos de

f(x)=x3−3x2−24x+10  en [−1, 5]\displaystyle \htmlClass{c-a}{f(x)=x^3-3x^2-24x+10}\htmlClass{c-b}{\ \text{ en }[-1,\,5]}

polinomio y [−1, 5][-1,\,5] cerrado ⇒\Rightarrow máx y mín existen

xy\displaystyle 30\displaystyle 30−70\displaystyle -70−60\displaystyle -6038\displaystyle 38
candidatos: crıˊticos y bordes\displaystyle \htmlClass{c-a}{\text{candidatos:}}\htmlClass{c-crit}{\ \text{críticos}}\htmlClass{c-bordes}{\text{ y bordes}}

cima o fondo: f′=0f'=0

no es cima: f′(−1)≠0f'(-1)\neq0 solo críticos: se pierde

Paso 1: Críticos dentro del intervalo

f′(x)=3x2−6x−24\displaystyle f'(x)=3x^2-6x-24
=3(x2−2x−8)\displaystyle =3(x^2-2x-8)
=3(x−4)(x+2)\displaystyle =3\htmlClass{c-p1}{(x-4)}\htmlClass{c-p2}{(x+2)}
f′(x)=0 ⇒ x−4=0  o  x+2=0\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(x)=0}\htmlClass{c-b}{\ \Rightarrow\ x-4=0\ \text{ o }\ x+2=0}
x=4ox=−2\displaystyle \htmlClass{c-x4}{x=4}\quad\text{o}\quad\htmlClass{c-m2}{x=-2}

¡ojo! ¿está en [−1, 5][-1,\,5]?

−2∉[−1, 5]4∈[−1, 5]\displaystyle \htmlClass{c-a}{-2\notin[-1,\,5]}\qquad\htmlClass{c-b}{4\in[-1,\,5]}

Paso 2: Evalúa en críticos y bordes

bordes: −1, 5crıˊtico: 4\displaystyle \htmlClass{c-bordes}{\text{bordes: }-1,\ 5}\qquad\htmlClass{c-crit}{\text{crítico: }4}

en f: comparamos alturas

f(−1)=−1−3+24+10=30\displaystyle \htmlClass{c-a}{f(-1)}\htmlClass{c-b}{=-1-3+24+10}\htmlClass{c-c}{=30}
f(4)=64−48−96+10=−70\displaystyle \htmlClass{c-a}{f(4)}\htmlClass{c-b}{=64-48-96+10}\htmlClass{c-c}{=-70}
f(5)=125−75−120+10=−60\displaystyle \htmlClass{c-a}{f(5)}\htmlClass{c-b}{=125-75-120+10}\htmlClass{c-c}{=-60}

Paso 3: Compara

bordecrıˊticobordex−145f(x)30−70−60\displaystyle \begin{array}{c|ccc} & \text{borde} & \text{crítico} & \text{borde}\\ x & -1 & 4 & 5\\ \hline f(x) & \htmlClass{c-v1}{30} & \htmlClass{c-v2}{-70} & \htmlClass{c-v3}{-60} \end{array}

máx: 3030, mín: −70-70

maˊx. absoluto: f(−1)=30\displaystyle \text{máx. absoluto: }f(-1)=\htmlClass{c-v}{30}
mıˊn. absoluto: f(4)=−70\displaystyle \text{mín. absoluto: }f(4)=\htmlClass{c-v}{-70}

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos
0:00 / 3:39
3

Así queda en tu hoja

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

La función ff es un polinomio, por lo tanto es continua en el intervalo cerrado [−1, 5][-1,\,5] y alcanza en él un máximo y un mínimo absolutos.

Derivamos con la regla de la potencia y factorizamos:

f′(x)=3x2−6x−24\displaystyle f'(x)=3x^2-6x-24
=3(x2−2x−8)\displaystyle =3(x^2-2x-8)
=3(x−4)(x+2)\displaystyle =3(x-4)(x+2)

Igualamos a cero para obtener los puntos críticos:

3(x−4)(x+2)=0 ⇒ x=4 o x=−2\displaystyle 3(x-4)(x+2)=0\ \Rightarrow\ x=4\ \text{o}\ x=-2

Como −2∉[−1, 5]-2\notin[-1,\,5], se descarta; en cambio, 4∈[−1, 5]4\in[-1,\,5]. Evaluamos ff en el punto crítico y en los extremos del intervalo:

f(−1)=(−1)3−3(−1)2−24(−1)+10=30\displaystyle f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-24(-1)+10=30
f(4)=(4)3−3(4)2−24(4)+10=−70\displaystyle f(4)=(4)^3-3(4)^2-24(4)+10=-70
f(5)=(5)3−3(5)2−24(5)+10=−60\displaystyle f(5)=(5)^3-3(5)^2-24(5)+10=-60
x−145f(x)30−70−60\displaystyle \begin{array}{c|ccc} x & -1 & 4 & 5\\ \hline f(x) & 30 & -70 & -60 \end{array}

Comparando, el mayor valor es 3030, en x=−1x=-1, y el menor es −70-70, en x=4x=4. Por lo tanto,

maˊx. absoluto: f(−1)=30\displaystyle \text{máx. absoluto: }f(-1)=\boxed{30}
mıˊn. absoluto: f(4)=−70\displaystyle \text{mín. absoluto: }f(4)=\boxed{-70}