Regla de L'Hôpital

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

Regla de L'Hôpital

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Al reemplazar, el límite da $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ : $\lim_{x\to 0}\frac{\sen x}{x}$ , $\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^x}$ . También sirve para $0\cdot\infty$ y $1^{\infty}$ , después de transformarlos en una fracción.

1Reemplaza primeroPon el valor al que tiende $x$ . ¿Da $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ ? Si no, no se puede usar la regla: el límite se calcula directo.
2Deriva arriba y abajo por separado $\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ : la derivada del numerador sobre la derivada del denominador. No es la regla del cociente.
3Vuelve a reemplazarSi ahora da un número (o $\pm\infty$ ), ese es el límite. Si vuelve a dar $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ , repite la regla.
4Si no es una fracción, transfórmala $0\cdot\infty$ : pasa un factor abajo, como $x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}$ . $1^{\infty}$ : llama $L$ al límite y aplica $\ln$ (el exponente baja); calcula $\ln L$ y al final $L=e^{\ln L}$ .

Mírala en acción

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

Regla de L'Hôpital

para los límites que dan $0/0$ o $\infty/\infty$

Ejercicio: calcula el límite

\displaystyle \htmlClass{c-x0}{\lim_{x\to 0}}\frac{\sen x}{x}

sale en 3 pasos

Paso 1: Reemplazar primero

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\frac{\sen 0}{0}}\htmlClass{c-b}{=\htmlClass{c-ind}{\frac{0}{0}}}

indeterminado: no es cero ni infinito

todavía no sabemos cuánto vale

Paso 2: Derivar arriba y abajo

\displaystyle \left(\frac{\sen x}{x}\right)'=\frac{\cos x\cdot x-\sen x\cdot 1}{x^2}

¡no es el cociente!

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\lim\frac{f}{g}}\htmlClass{c-b}{=\lim\frac{\htmlClass{c-fp}{f'}}{\htmlClass{c-gp}{g'}}}

cada uno solo, por separado

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(\sen x)'=\htmlClass{c-cos}{\cos x}}\qquad\htmlClass{c-b}{(x)'=\htmlClass{c-uno}{1}}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\lim_{x\to 0}\frac{\sen x}{x}}\htmlClass{c-b}{=\lim_{x\to 0}\frac{\htmlClass{c-arr}{\cos x}}{\htmlClass{c-ab}{1}}}

Paso 3: Volver a reemplazar

\displaystyle \htmlClass{c-a}{=\frac{\cos 0}{1}}\htmlClass{c-b}{=\frac{1}{1}}\htmlClass{c-c}{=\htmlClass{c-uno}{1}}

ya no es $0/0$ : ese es el límite

si da $0/0$ de nuevo, repite la regla

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sen x}{x}=1

\displaystyle (0,\,1)

cerca de 0, seno de x se parece a x

¡ojo! la regla solo sirve si da $0/0$ o $\infty/\infty$ si no da eso, no se usa

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{x+1}}\htmlClass{c-b}{=\frac{1}{1}=1}

directo, sin regla

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos

0:00 / 3:20

Así queda en tu hoja

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Al reemplazar $x=0$ el límite queda indeterminado:

\displaystyle \frac{\sen 0}{0}=\frac{0}{0}

Como es de la forma $\frac{0}{0}$ , aplicamos la regla de L'Hôpital: derivamos el numerador y el denominador por separado.

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sen x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}

Reemplazamos de nuevo:

\displaystyle =\frac{\cos 0}{1}=\boxed{1}