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🔁 Repaso

Lección 9 de 32 · Calcular derivadas

Derivada de la función inversa

Encuentra el a, deriva ahí y da vuelta.

La clave · Invertir la pendiente

(f−1)′(b)=1f′(a)\displaystyle \left(f^{-1}\right)'(b)=\frac{1}{f'(a)}
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Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

Derivada de la función inversa

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Te piden la derivada de f−1f^{-1} en un punto, pero no tienes (ni puedes despejar) la fórmula de f−1f^{-1}: f(x)=x3+xf(x)=x^3+x, calcular (f−1)′(2)\left(f^{-1}\right)'(2).

  1. 1Encuentra el aBusca el aa con f(a)=bf(a)=b probando valores fáciles: 00, 11, −1-1, 22… Ese aa es f−1(b)f^{-1}(b).
  2. 2Deriva f y evalúa en aCalcula f′(x)f'(x) con las reglas de siempre y reemplaza x=ax=a. En aa, no en bb.
  3. 3Invierte(f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b)=\frac{1}{f'(a)}: uno partido por ese número.
  4. 4Ojo con el puntoSe evalúa f′f' en aa, el punto donde ff vale bb, nunca en bb. Y si f′(a)=0f'(a)=0, la inversa no es derivable en bb.
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Mírala en acción

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

Derivada de la función inversa

sin despejar la inversa de dónde sale la fórmula y tres movimientos

Ejercicio: con esta ff, calcula

f(x)=x3+x(f−1)′(2)= ?\displaystyle \htmlClass{c-f}{f(x)=x^3+x}\qquad\htmlClass{c-q}{\left(f^{-1}\right)'(2)=\ ?}
f−1(x)= ???\displaystyle f^{-1}(x)=\ ???

no se puede despejar ¡y no hace falta!

Paso 1: De dónde sale la fórmula

la inversa deshace a ff

f(f−1(x))=x\displaystyle \htmlClass{c-a}{f(\htmlClass{c-inv}{f^{-1}(x)})}\htmlClass{c-b}{=x}

regla de la cadena

f′(f−1(x))⋅(f−1)′(x)=1\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(\htmlClass{c-ad}{f^{-1}(x)})}\htmlClass{c-b}{\cdot\left(f^{-1}\right)'(x)}\htmlClass{c-c}{=1}
(f−1)′(x)=1f′(f−1(x))\displaystyle \left(f^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}
x=bf−1(b)=a ⇔ f(a)=b\displaystyle \htmlClass{c-b}{x=b}\qquad\htmlClass{c-a}{f^{-1}(b)=a}\htmlClass{c-c}{\ \Leftrightarrow\ f(a)=b}
(f−1)′(b)=1f′(a),f(a)=b\displaystyle \htmlClass{c-i}{\left(f^{-1}\right)'(b)}\htmlClass{c-d}{=\frac{1}{f'(\htmlClass{c-aa}{a})}}\htmlClass{c-c}{,\qquad f(a)=b}

¡ojo! f′f' en aa, no en bb el error típico

Paso 2: Encontrar el a

b=2 ⇒ buscamos a con f(a)=2\displaystyle \htmlClass{c-a}{b=2}\htmlClass{c-b}{\ \Rightarrow\ \text{buscamos } a \text{ con } f(a)=2}

probar valores fáciles: 00, 11, −1-1, 22...

f(0)=03+0=0 ≠2\displaystyle \htmlClass{c-a}{f(0)=0^3+0=0}\htmlClass{c-no}{\ \neq 2}
f(1)=13+1=2 ⇒ a=1\displaystyle \htmlClass{c-a}{f(1)=1^3+1}\htmlClass{c-b}{=2}\htmlClass{c-c}{\ \Rightarrow\ a=1}
xy(1, 2)\displaystyle (1,\,2)

ff manda el 1 al 2 f−1f^{-1} manda el 2 al 1

Paso 3: Derivar y evaluar en a

(xn)′=n xn−1(x^n)'=n\,x^{n-1}

f′(x)=3x2+1\displaystyle f'(x)=3x^2+1

en a=1a=1, no en b=2b=2

f′(1)=3⋅12+1=4\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(\htmlClass{c-uno}{1})}\htmlClass{c-b}{=3\cdot 1^2+1}\htmlClass{c-c}{=\htmlClass{c-cuatro}{4}}

pendiente de ff en (1, 2)(1,\,2)

Paso 4: Invertir

(f−1)′(2)=1f′(1)=14\displaystyle \htmlClass{c-a}{\left(f^{-1}\right)'(2)}\htmlClass{c-b}{=\frac{1}{f'(1)}}\htmlClass{c-c}{=\frac{1}{4}}

la pendiente se da vuelta

f−1f^{-1}: reflejo en la diagonal pasa por (2, 1)(2,\,1)

ff: pendiente 44 f−1f^{-1}: pendiente 1/41/4

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos
0:00 / 4:08
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Así queda en tu hoja

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Como f′(x)=3x2+1>0f'(x)=3x^2+1>0, ff es creciente y tiene inversa, aunque no podamos despejarla. Usamos la fórmula de la derivada de la función inversa:

(f−1)′(b)=1f′(a),donde f(a)=b\displaystyle \left(f^{-1}\right)'(b)=\frac{1}{f'(a)},\quad\text{donde } f(a)=b

Buscamos aa tal que f(a)=2f(a)=2. Probando x=1x=1:

f(1)=13+1=2\displaystyle f(1)=1^3+1=2

Luego a=1a=1. Derivamos ff y evaluamos en a=1a=1:

f′(x)=3x2+1\displaystyle f'(x)=3x^2+1
f′(1)=3(1)2+1=4\displaystyle f'(1)=3(1)^2+1=4

Por lo tanto,

(f−1)′(2)=1f′(1)=14\displaystyle \left(f^{-1}\right)'(2)=\frac{1}{f'(1)}=\boxed{\frac{1}{4}}