Verdadero o falso

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

Verdadero o falso

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Las preguntas de teoría del certamen: «Verdadero o falso. Justifique». Casi siempre son reglas mal dichas o teoremas al revés.

1Tradúcela¿Qué dice en concreto? Escríbela con una función cualquiera y sus derivadas: así se ve qué está afirmando.
2Si crees que es falsa, busca UN contraejemplo sencilloPrueba con $x^3$ , $|x|$ , $\frac{1}{x}$ o una constante. Con un solo ejemplo que falle, basta.
3Si crees que es verdadera, di qué la garantizaNombra el teorema o la regla: la definición de derivada, la regla de la cadena, el teorema del valor medio…
4En la prueba, escribe el contraejemplo o el argumentoSin justificación no hay puntaje: un «falso» a secas vale cero.

Mírala en acción

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

Verdadero o falso

teoría del certamen: V o F... y justifica

Ejercicio: ¿verdadero o falso? Justifica.

\displaystyle \htmlClass{c-h}{\text{Si } f'(c)=0}\text{, entonces }\htmlClass{c-t}{f \text{ tiene un extremo en } c}

¿cómo se ataca? 1. tradúcela ¿falsa? un contraejemplo ¿verdadera? el teorema

Paso 1: Traducir la afirmación

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(c)=0}\htmlClass{c-b}{\ \htmlClass{c-q}{\overset{?}{\Rightarrow}}\ \text{extremo en } c}

tangente horizontal: ¿siempre cima o valle?

Paso 2: Buscar un contraejemplo

basta UNA que falle

sospechosas de siempre: $x^3$ , $|x|$ , $1/x$ , constante

\displaystyle f(x)=x^3

\displaystyle (0,\,0)

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(x)}\htmlClass{c-b}{=3x^2}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(0)=3\cdot 0^2}\htmlClass{c-b}{=\htmlClass{c-cero}{0}}

cumple la hipótesis

Paso 3: ¿Hay extremo en 0?

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f(-0{,}1)=-0{,}001}\qquad\htmlClass{c-b}{f(0{,}1)=0{,}001}

pasa de $-$ a $+$ : sube, se aplana... y sigue subiendo

\displaystyle \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & 0 & (0,\infty)\\ \hline f'(x)=3x^2 & \htmlClass{c-s1}{+} & 0 & \htmlClass{c-s2}{+}\\ f & \htmlClass{c-a1}{\nearrow} & & \htmlClass{c-a2}{\nearrow} \end{array}

no cambia de signo: ni cima ni valle

\displaystyle x=0:\ \text{ni máximo ni mínimo}

inflexión, no extremo

Paso 4: Veredicto

\displaystyle \boxed{\text{Falso}}

$f'=0$ es necesario, no suficiente

En la prueba se escribe así:

Falso: $f(x)=x^3$ en $0$ $f'(0)=0$ y no hay extremo

sin justificación, no hay puntaje

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos

0:00 / 3:57

Así queda en tu hoja

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Buscamos un contraejemplo. Sea $f(x)=x^3$ . Entonces

\displaystyle f'(x)=3x^2

\displaystyle f'(0)=3\cdot 0^2=0

Sin embargo, $f$ no tiene extremo en $x=0$ : para $x<0$ es $f(x)<0$ y para $x>0$ es $f(x)>0$ , de modo que $f$ es creciente en todo $\mathbb{R}$ y pasa por el origen sin detenerse.

Por lo tanto, $f'(c)=0$ no garantiza un extremo en $c$ . La afirmación es

\displaystyle \boxed{\text{Falso}}