Concavidad e inflexión

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Piden concavidad (∪ o ∩) o puntos de inflexión.

1Calcula f''Deriva dos veces y factoriza.
2CandidatosDonde $f''=0$ o $f''$ no existe.
3Tabla de signos de f'' $f''>0$ : cóncava hacia arriba ∪. $f''<0$ : cóncava hacia abajo ∩.
4Inflexión solo si cambiaEl signo de $f''$ tiene que cambiar y el punto estar en el dominio. La altura se calcula en $f$ .

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

montaña $\cap$ o valle $\cup$ ¿dónde cambia? $\to$ inflexión

Ejercicio: estudia la concavidad de

\displaystyle f(x)=x^3-9x^2+15x+4

\displaystyle D_f=\mathbb{R}

\displaystyle \text{montaña}\ \cap

\displaystyle \text{valle}\ \cup

\displaystyle (3,\,-5)

concavidad = cómo se dobla

$f''$ : cómo cambia la pendiente $f'$

montaña: $f'$ de $+$ a $-$ , disminuye

valle: $f'$ de $-$ a $+$ , aumenta

\displaystyle \htmlClass{c-neg}{f''\htmlClass{c-sn}{<0}\ \Rightarrow\ \cap}\qquad\htmlClass{c-pos}{f''\htmlClass{c-sp}{>0}\ \Rightarrow\ \cup}

Paso 1: La segunda derivada

\displaystyle f'(x)=3x^2-18x+15

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f''(x)=6x-18}\htmlClass{c-b}{=6(x-3)}

Paso 2: Candidatos

cambia si $f''=0$ o si $f''$ no existe

\displaystyle \htmlClass{c-a}{6(x-3)=0\ \Rightarrow\ }\htmlClass{c-x}{x=3}

por ahora, solo candidato

Paso 3: Tabla de signos

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(-\infty,\,3)}\quad\text{y}\quad\htmlClass{c-b}{(3,\,+\infty)}

mismo signo en cada tramo

\displaystyle f''(0)=6(0-3)=-18

\displaystyle f''(4)=6(4-3)=6

\displaystyle \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,3) & 3 & (3,+\infty)\\ \hline f''(x) & \htmlClass{c-s1}{-} & 0 & \htmlClass{c-s2}{+}\\ f & \htmlClass{c-c1}{\cap} & & \htmlClass{c-c2}{\cup} \end{array}

$\cap$ : cóncava hacia abajo, $\cup$ : cóncava hacia arriba

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\cap\text{ en }(-\infty,3)}\qquad\htmlClass{c-b}{\cup\text{ en }(3,+\infty)}

Paso 4: Inflexión solo si cambia

\displaystyle \htmlClass{c-a}{x=3:\ \htmlClass{c-signos}{-\to+}}\htmlClass{c-d}{,\ 3\in D_f}\htmlClass{c-b}{\ \Rightarrow\ \text{inflexión}}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f(3)}\htmlClass{c-b}{=27-81+45+4}\htmlClass{c-c}{=-5}

¡ojo! se calcula en $f$ (la original), $f''(3)$

\displaystyle \text{punto de inflexión: }(3,\,-5)

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos

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El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Como $f$ es un polinomio, su dominio es:

\displaystyle D_f=\mathbb{R}

Derivamos dos veces con la regla de la potencia:

\displaystyle f'(x)=3x^2-18x+15

\displaystyle f''(x)=6x-18=6(x-3)

La segunda derivada existe en todo $\mathbb{R}$ . Igualamos a cero para obtener los candidatos a punto de inflexión:

\displaystyle 6(x-3)=0\ \Rightarrow\ x=3

Tabla de signos de $f''$ (el factor $6$ es positivo):

\displaystyle \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,3) & 3 & (3,+\infty)\\ \hline x-3 & - & 0 & + \\ \hline f''(x) & - & 0 & + \\ f & \cap & & \cup \end{array}

Por lo tanto, $f$ es cóncava hacia abajo en $(-\infty,3)$ y cóncava hacia arriba en $(3,+\infty)$ .

En $x=3$ la concavidad cambia y $3\in D_f$ , así que hay un punto de inflexión. Su ordenada se calcula en $f$ :

\displaystyle f(3)=(3)^3-9(3)^2+15(3)+4=-5

\displaystyle \boxed{\begin{array}{l} \text{cóncava hacia abajo en }(-\infty,3)\\ \text{cóncava hacia arriba en }(3,+\infty)\\ \text{punto de inflexión: }(3,\,-5) \end{array}}