Derivabilidad por tramos

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Una función por tramos (o con valor absoluto) y preguntan si es derivable en el punto donde cambia la fórmula, o te piden $a$ y $b$ para que lo sea.

1Primero, continuidadLos tramos tienen que juntarse en $c$ : el de la izquierda y el de la derecha deben valer lo mismo en $x=c$ . Si no se juntan, no sigas: no es derivable.
2Deriva cada tramoPor separado, con las reglas de siempre, y evalúa cada derivada en $x=c$ : esas son las derivadas laterales $f'_-(c)$ y $f'_+(c)$ .
3ComparaSi $f'_-(c)=f'_+(c)$ , es derivable y $f'(c)$ es ese valor. Si son distintas, hay un «quiebre»: $f'(c)$ no existe.
4Si piden parámetrosDos condiciones, dos ecuaciones: una de continuidad y otra de las derivadas laterales. Resuelve el sistema.

Mírala en acción

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

Derivabilidad por tramos

dos preguntas: ¿se juntan? ¿se quiebran?

Ejercicio: ¿es $f$ derivable en $x=1$ ?

\displaystyle f(x)=\begin{cases}\htmlClass{c-izq}{x^2+1} & \htmlClass{c-ci}{\text{si } x<1}\\[4pt] \htmlClass{c-der}{4x-2} & \htmlClass{c-cd}{\text{si } x\ge 1}\end{cases}

en 1 cambia la fórmula: ahí está la duda

\displaystyle (1,\,2)

derivable en 1: 2 cosas se juntan y no se quiebran

Paso 1: Primero, continuidad

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f(1^-)}\htmlClass{c-b}{=1^2+1}\htmlClass{c-c}{=\htmlClass{c-v}{2}}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f(1)}\htmlClass{c-b}{=4\cdot 1-2}\htmlClass{c-c}{=\htmlClass{c-v}{2}}

$2=2$ : se juntan continua en 1

si no se juntan, no sigas: no es derivable

Paso 2: Deriva cada tramo

\displaystyle x<1:\quad f'(x)=\htmlClass{c-d}{2x}

recta de pendiente 4

\displaystyle x>1:\quad f'(x)=\htmlClass{c-d}{4}

Paso 3: Derivadas laterales

pendiente al llegar a 1, por cada lado

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'_-(1)}\htmlClass{c-b}{=2\cdot 1}\htmlClass{c-c}{=\htmlClass{c-v}{2}}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'_+(1)}\htmlClass{c-b}{=\htmlClass{c-v}{4}}

Paso 4: Compara

\displaystyle f'_-(1)=\htmlClass{c-dos}{2}\htmlClass{c-neq}{\ \neq\ }\htmlClass{c-cuatro}{4}=f'_+(1)

se quiebra: llega con pendiente 2, sale con pendiente 4

una punta: la tangente no sabe hacia dónde ir

\displaystyle \boxed{f'(1)\ \text{no existe}}

\displaystyle f\ \text{es continua en } 1,\ \text{pero no es derivable ahí}

iguales: derivable distintas: una punta

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos

0:00 / 3:24

Así queda en tu hoja

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Continuidad en $x=1$ . Evaluamos cada tramo en $x=1$ :

\displaystyle \lim_{x\to 1^-}f(x)=1^2+1=2

\displaystyle f(1)=4(1)-2=2

Como coinciden, $f$ es continua en $x=1$ y tiene sentido buscar las derivadas laterales.

Derivadas laterales. Derivamos cada tramo:

\displaystyle f'(x)=\begin{cases}2x & \text{si } x<1\\[4pt] 4 & \text{si } x>1\end{cases}

\displaystyle f'_-(1)=2(1)=2

\displaystyle f'_+(1)=4

Como $f'_-(1)=2\neq 4=f'_+(1)$ , las derivadas laterales son distintas. Por lo tanto,

\displaystyle \boxed{f'(1)\ \text{no existe}}

$f$ es continua en $x=1$ , pero no es derivable ahí: su gráfico tiene un «quiebre».