Trigonométricas inversas

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Aparecen $\arcsen$ , $\arccos$ o $\arctan$ .

1Recuerda la tabla $(\arcsen u)'=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$ , $(\arccos u)'=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$ , $(\arctan u)'=\frac{u'}{1+u^2}$ .
2Identifica u y derivaLo de adentro es $u$ ; calcula $u'$ .
3Reemplaza con cuidado $u^2$ es todo $u$ al cuadrado: si $u=2x$ , $u^2=4x^2$ .
4SimplificaJunta fracciones y saca raíces cuando se pueda.

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\htmlClass{c-k1}{\mathrm{arc}}\mathrm{sen}}\qquad\htmlClass{c-b}{\htmlClass{c-k2}{\mathrm{arc}}\mathrm{cos}}\qquad\htmlClass{c-c}{\htmlClass{c-k3}{\mathrm{arc}}\mathrm{tan}}

con calma, paso a paso

Ejercicio: deriva

\displaystyle f(x)=\arcsen(\htmlClass{c-u}{2x})

dos ideas: la tabla, y lo de adentro

Paso 1: La tabla

no se deducen: de memoria (son solo 3)

\displaystyle (\arcsen x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}

\displaystyle (\arccos x)'=\htmlClass{c-menos}{-}\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(\arctan x)'=}\htmlClass{c-b}{\dfrac{1}{\htmlClass{c-den}{1\htmlClass{c-mas}{+}x^2}}}

casi iguales

Paso 2: Lo de adentro

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\arcsen x}\qquad\htmlClass{c-b}{\arcsen(\htmlClass{c-u}{2x})}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{u=2x}\htmlClass{c-b}{\;\Rightarrow\;u'=2}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(\arcsen u)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-\htmlClass{c-u2}{u}^2}}}\htmlClass{c-b}{\cdot u'}

es compuesta: regla de la cadena

Paso 3: Reemplazar

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(x)=\dfrac{\htmlClass{c-num}{1}}{\sqrt{1-\htmlClass{c-cuad}{\htmlClass{c-par}{(2x)}^2}}}}\htmlClass{c-b}{\cdot 2}

el cuadrado afecta al 2 y a la x

Paso 4: Simplificar

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(2x)^2}\htmlClass{c-b}{=\htmlClass{c-dd}{2^2}x^2}\htmlClass{c-c}{=4x^2}\qquad\htmlClass{c-no}{\text{no }\htmlClass{c-mal}{2x^2}}

\displaystyle f'(x)=\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos

0:00 / 3:09

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Aplicamos la regla de la cadena con la derivada de tabla $(\arcsen u)'=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot u'$ .

La función interior es $u=2x$ , con $u'=2$ . Reemplazando:

\displaystyle f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}}\cdot 2

Como $(2x)^2=4x^2$ :

\displaystyle f'(x)=\boxed{\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}}