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🔁 Repaso

Lección 24 de 32 · Máximos, mínimos y optimización

Leer gráficos de f y f′

Sobre el eje sube, bajo el eje baja.

La clave · Signo de f′ en el dibujo

f′>0 ⇒ f↗\displaystyle f'>0\ \Rightarrow\ f\nearrow
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Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

Leer gráficos de f y f′

5 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Te dan el gráfico de f′f' y preguntan por ff; te dan ff y hay que elegir el gráfico de f′f'; o hay que estimar una pendiente en un dibujo.

  1. 1Mira qué dibujo esLee el rótulo: ¿es ff o es f′f'? Casi todos los errores vienen de confundirlos.
  2. 2Signo de f′Donde f′f' está sobre el eje xx, ff sube ↗. Donde está bajo el eje, ff baja ↘.
  3. 3Donde f′ cruza el ejeAhí ff cambia de sentido: de ++ a −- es un máximo; de −- a ++ es un mínimo. Si solo toca el eje sin cruzar, no hay extremo.
  4. 4Donde f′ tiene su propio cerro o valleAhí f′f' deja de crecer o de decrecer: f′′=0f''=0 y cambia de signo. Es un punto de inflexión de ff.
  5. 5Pendiente en un dibujoCuenta cuadritos sobre la recta: m=subeavanzam=\frac{\text{sube}}{\text{avanza}}. Si la recta baja, la pendiente es negativa.
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Mírala en acción

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

Leer gráficos de f y f'

te dan f′f', preguntan por ff

sin calcular nada: solo mirando el dibujo

Ejercicio: este es el gráfico de f′f'.

xyx=−1\displaystyle x=-1x=2\displaystyle x=2(0,5, −2,25)\displaystyle (0{,}5,\,-2{,}25)+\displaystyle ++\displaystyle +−\displaystyle -

¿En qué xx tiene ff su mínimo relativo?

Paso 1: ¿Qué dibujo es?

y=f′(x)\displaystyle y=\htmlClass{c-fp}{f'(x)}

es f′f', no ff ¡el error típico! todo se lee en su signo

Paso 2: Dónde corta el eje

f′(x)=0 ⇒ x=−1  o  x=2\displaystyle \htmlClass{c-a}{f'(x)=0}\htmlClass{c-b}{\ \Rightarrow\ x=-1\ \text{ o }\ x=2}

puntos críticos de ff

Paso 3: Signo de f' en cada tramo

++ : ff sube −- : ff baja

(−∞,−1): f′>0 ⇒ f↗\displaystyle \htmlClass{c-a}{(-\infty,-1):\ f'>0}\htmlClass{c-b}{\ \Rightarrow\ f\nearrow}
(−1, 2): f′<0 ⇒ f↘\displaystyle \htmlClass{c-a}{(-1,\,2):\ f'<0}\htmlClass{c-b}{\ \Rightarrow\ f\searrow}
(2,∞): f′>0 ⇒ f↗\displaystyle \htmlClass{c-a}{(2,\infty):\ f'>0}\htmlClass{c-b}{\ \Rightarrow\ f\nearrow}
x(−∞,−1)(−1, 2)(2,∞)f′(x)+−+f↗↘↗\displaystyle \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-1) & (-1,\,2) & (2,\infty)\\ \hline f'(x) & \htmlClass{c-s1}{+} & \htmlClass{c-s2}{-} & \htmlClass{c-s3}{+}\\ f & \htmlClass{c-a1}{\nearrow} & \htmlClass{c-a2}{\searrow} & \htmlClass{c-a3}{\nearrow} \end{array}

sin calcular nada: leída del dibujo

Paso 4: Máximo y mínimo

x=−1: +→− ⇒ maˊximo\displaystyle \htmlClass{c-a}{x=-1:\ \htmlClass{c-sg}{+\to-}}\htmlClass{c-b}{\ \Rightarrow\ \text{máximo}}

sube y después baja: cima

x=2: −→+ ⇒ mıˊnimo\displaystyle \htmlClass{c-a}{x=2:\ \htmlClass{c-sg}{-\to+}}\htmlClass{c-b}{\ \Rightarrow\ \text{mínimo}}

baja y después sube: valle

Paso 5: Ojo con la trampa

x=0,5: mıˊnimo de f′, no de f\displaystyle \htmlClass{c-a}{x=0{,}5:}\htmlClass{c-b}{\ \text{mínimo de } f',}\htmlClass{c-c}{\ \text{no de } f}

f′f' deja de bajar: inflexión de ff ¡no es extremo!

Paso 6: Respuesta

x=2\displaystyle \boxed{x=2}

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos
0:00 / 3:44
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Así queda en tu hoja

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

El gráfico corresponde a f′f', no a ff. Los puntos críticos de ff están donde f′f' corta al eje xx:

f′(x)=0 ⇒ x∈{−1, 2}\displaystyle f'(x)=0\ \Rightarrow\ x\in\{-1,\,2\}

Leemos el signo de f′f' en el dibujo: está sobre el eje xx en (−∞,−1)(-\infty,-1) y en (2,+∞)(2,+\infty), y bajo el eje en (−1,2)(-1,2):

x(−∞,−1)−1(−1,2)2(2,+∞)f′(x)+0−0+f↗↘↗\displaystyle \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ f & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \end{array}

En x=−1x=-1, f′f' cambia de ++ a −-: máximo relativo de ff. En x=2x=2, f′f' cambia de −- a ++: mínimo relativo de ff.

x=2\displaystyle \boxed{x=2}