Derivación implícita

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:La ecuación mezcla $x$ e $y$ y no se puede despejar $y$ : $x^2+y^2=25$ .

1Deriva ambos lados respecto de xTérmino a término, a la izquierda y a la derecha del igual.
2Cada vez que derives y, multiplica por y'Es la regla de la cadena: $(y^2)'=2y\,y'$ , $(xy)'=y+xy'$ .
3Junta los y' a un ladoTodo lo que tiene $y'$ a la izquierda; el resto, a la derecha.
4Factoriza y' y despeja $y'(\ldots)=\ldots\;\Rightarrow\;y'=\frac{\ldots}{\ldots}$ . Si te dan un punto, reemplázalo al final.

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

mezcla $x$ e $y$ (no se despeja fácil)

con calma, paso a paso

Ejercicio: encuentra $y'$ si

\displaystyle \htmlClass{c-x}{x}^2+\htmlClass{c-y}{y}^2=25

Paso 1: Derivar ambos lados

¡sin despejar!

\displaystyle \htmlClass{c-a}{A=B}\htmlClass{c-b}{\;\Rightarrow\;A'=B'}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\dfrac{d}{dx}\big(x^2+y^2\big)}\htmlClass{c-b}{=\dfrac{d}{dx}(25)}

\displaystyle \dfrac{d}{dx}\big(x^2\big)=2x

\displaystyle \dfrac{d}{dx}(25)=0

Paso 2: Cada y lleva y'

\displaystyle \htmlClass{c-a}{y=y\htmlClass{c-dep}{(x)}}\qquad\htmlClass{c-b}{y^2=\big(\htmlClass{c-in}{y(x)}\big)^{\htmlClass{c-af}{2}}}

(no sabemos cuál)

regla de la cadena

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\dfrac{d}{dx}\big(y^2\big)=2y}\htmlClass{c-b}{\cdot\htmlClass{c-yp}{y'}}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\dfrac{d}{dx}\big(x^2\big)=2x\cdot x'}\htmlClass{c-b}{=2x\cdot\htmlClass{c-uno}{1}}

¡no lo olvides!

\displaystyle \dfrac{d}{dx}\big(y^n\big)=n\,y^{n-1}\cdot\htmlClass{c-yp}{y'}

\displaystyle \htmlClass{c-x}{2x}+\htmlClass{c-t}{2y\,\htmlClass{c-yp}{y'}}=0

Paso 3: Aislar el término con y'

$y'$ es la incógnita (como la $x$ )

\displaystyle \htmlClass{c-dy}{2y}\,y'=\htmlClass{c-mx}{-2x}

Paso 4: Despejar y'

pasa dividiendo

\displaystyle y'=\dfrac{-\htmlClass{c-d1}{2}x}{\htmlClass{c-d2}{2}y}

\displaystyle y'=-\dfrac{\htmlClass{c-x}{x}}{\htmlClass{c-y}{y}}

con $x$ e $y$ es lo normal (así se entrega)

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos

0:00 / 3:16

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Derivamos ambos lados respecto de $x$ , considerando $y$ como función de $x$ . Por la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\left(y^2\right)=2y\,y'$ :

\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x^2+y^2\right)=\frac{d}{dx}(25)

\displaystyle 2x+2y\,y'=0

Despejamos $y'$ :

\displaystyle 2y\,y'=-2x

\displaystyle y'=-\frac{2x}{2y}

Simplificando,

\displaystyle y'=\boxed{-\frac{x}{y}}