Potencias y polinomios

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

3 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:Hay sumas y restas de potencias de $x$ , raíces o $x$ en el denominador.

1Escribe todo como potenciaRaíz → exponente fraccionario: $\sqrt{x}=x^{\frac12}$ . $x$ abajo → exponente negativo: $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$ .
2Deriva término a término $(x^n)'=n\,x^{n-1}$ : el exponente baja a multiplicar y se le resta uno. Un número solo se va.
3Ordena el resultadoVuelve a escribir con raíces y exponentes positivos, como lo pide la prueba.

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

la más usada del curso · con calma, paso a paso

Ejercicio: deriva

\displaystyle f(x)=4x^3-5x^2+7x-2

parece largo... pero es una sola regla

Paso 1: La regla

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(x^{\htmlClass{c-e}{3}})'}\htmlClass{c-b1}{=\htmlClass{c-baja}{3}\,x}^{\htmlClass{c-nuevo}{2}}

dos cosas: baja el exponente, y le restas 1

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(x^4)'=4x^3}\qquad\htmlClass{c-b}{(x^{10})'=10x^9}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(x^{\htmlClass{c-n}{n}})'}\htmlClass{c-b}{=\htmlClass{c-baja}{n}\,x^{n\htmlClass{c-menos}{-1}}}

\displaystyle (7)'=\htmlClass{c-cero}{0}

\displaystyle (\htmlClass{c-c}{c}\cdot x^n)'=\htmlClass{c-c2}{c}\cdot(x^n)'

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(\htmlClass{c-k}{5}\,x^2)'}\htmlClass{c-b}{=\htmlClass{c-k2}{5}\cdot 2x}\htmlClass{c-c}{=10x}

Paso 2: Término a término

\displaystyle f'(x)=(4x^3)'-(5x^2)'+(7x)'-\htmlClass{c-t4}{(2)'}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(\htmlClass{c-coef}{4}x^{\htmlClass{c-e}{3}})'}\htmlClass{c-b}{=4\cdot 3\,x^{2}}\htmlClass{c-c}{=12x^2}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(\htmlClass{c-k}{5}x^{\htmlClass{c-e}{2}})'}\htmlClass{c-b}{=5\cdot 2\,x}\htmlClass{c-c}{=10x}

\displaystyle \htmlClass{c-a}{(7x)'}\htmlClass{c-b}{=(7x^{\htmlClass{c-uno}{1}})'}\htmlClass{c-c}{=7\cdot\htmlClass{c-baja}{1}\,x^{\htmlClass{c-cero}{0}}}\htmlClass{c-d}{=\htmlClass{c-siete}{7}}

$x^0=1$

\displaystyle (2)'=0

Paso 3: Juntamos todo

\displaystyle f'(x)=12x^2-10x+7

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos

0:00 / 3:12

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Derivamos término a término, usando la regla de la potencia $(x^n)'=n\,x^{n-1}$ y que la derivada de una constante es $0$ :

\displaystyle f'(x)=(4x^3)'-(5x^2)'+(7x)'-(2)'

\displaystyle =4\cdot 3x^2-5\cdot 2x+7\cdot 1-0

Por lo tanto,

\displaystyle f'(x)=\boxed{12x^2-10x+7}