Derivación logarítmica

Aprende la receta

Léela antes del video: es lo que vas a ver aplicado.

La receta

4 pasos que sirven siempre

Úsala cuando:La $x$ está en la base y en el exponente ( $x^x$ , $x^{\sen x}$ ), o hay un producto o cociente muy largo.

1Aplica ln a ambos lados $y=x^x\;\Rightarrow\;\ln y=\ln x^x$ .
2Usa las propiedades del logaritmoEl exponente baja: $\ln y=x\ln x$ . Productos se vuelven sumas.
3Deriva ambos ladosA la izquierda queda $\frac{y'}{y}$ ; a la derecha, la derivada de siempre.
4Despeja y' y reemplaza yMultiplica por $y$ y vuelve a escribir $y$ como la función original.

La clase: un ejercicio resuelto con la receta, paso por paso.

\displaystyle \htmlClass{c-a}{f(x)}^{\htmlClass{c-b}{g(x)}}

con calma, paso a paso

Ejercicio: deriva

\displaystyle y=\htmlClass{c-base}{x}^{\htmlClass{c-exp}{x}}

¡tiene trampa!

\displaystyle (x^{\htmlClass{c-ex}{x}})'\htmlClass{c-neq}{\neq}x\cdot x^{x-1}

\displaystyle (x^{3})'=3x^2

\displaystyle (x^x)'\htmlClass{c-neq}{\neq}x^x\ln x

\displaystyle (2^x)'=2^x\ln 2

¡ninguna de las dos!

Paso 1: Aplicar ln a ambos lados

\displaystyle \ln\big(a^{b}\big)=b\,\ln a

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\ln\big(x^{\htmlClass{c-e}{3}}\big)}\htmlClass{c-b}{=\htmlClass{c-baja}{3}\ln x}

\displaystyle \htmlClass{c-ln1}{\ln}\,\htmlClass{c-y}{y}\htmlClass{c-ig}{=}\htmlClass{c-ln2}{\ln}\htmlClass{c-xx}{\big(x^{\htmlClass{c-exp}{x}}\big)}

Paso 2: El exponente baja

\displaystyle \ln y=\htmlClass{c-prod}{\htmlClass{c-x}{x}\,\ln x}

\displaystyle (u\,v)'=u'v+u\,v'

Paso 3: Derivar ambos lados

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\dfrac{d}{dx}(\ln y)=\dfrac{1}{y}}\htmlClass{c-b}{\cdot y'}

$y$ depende de $x$ : cadena

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\dfrac{d}{dx}(\htmlClass{c-xl}{x\ln x})=}\htmlClass{c-b1}{1\cdot\ln x}\htmlClass{c-b2}{+\htmlClass{c-x1}{x}\cdot\dfrac{1}{\htmlClass{c-x2}{x}}}

$x\cdot\frac{1}{x}=1$

\displaystyle =\ln x+1

\displaystyle \htmlClass{c-a}{\dfrac{1}{y}\cdot y'}\htmlClass{c-b}{=\dfrac{y'}{y}}

\displaystyle \dfrac{y'}{\htmlClass{c-y}{y}}=\ln x+1

Paso 4: Despejar y volver a x

pasa multiplicando

\displaystyle y'=\htmlClass{c-y}{y}\,(\ln x+1)

¡solo en $x$ !

\displaystyle y=x^x

\displaystyle y'=\htmlClass{c-xx}{x^x}\,(\ln x+1)

¡ahora tú!

Con voz y subtítulos

0:00 / 3:20

El mismo ejercicio del video, escrito como en la prueba.

✍️Ver la solución escritaMírala después del video: qué escribir y en qué orden para que no te descuenten.›

Como la variable está en la base y en el exponente, aplicamos logaritmo natural a ambos lados:

\displaystyle \ln y=\ln\left(x^{x}\right)

Usando la propiedad $\ln(a^b)=b\ln a$ :

\displaystyle \ln y=x\ln x

Derivamos ambos lados respecto de $x$ . A la izquierda, $(\ln y)'=\frac{y'}{y}$ , pues $y$ depende de $x$ ; a la derecha, regla del producto:

\displaystyle \frac{y'}{y}=1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1

Multiplicamos por $y$ :

\displaystyle y'=y\,(\ln x+1)

Reemplazando $y=x^{x}$ :

\displaystyle y'=\boxed{x^{x}(\ln x+1)}